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| Aufgabe | | Versuche, für jede der Abbildungen [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] die keine Bijektion ist, Zahlen a und b zu finden, für die die Abbildung g:[a,b] [mm] \to [/mm] f([a,b]), gegeben durch g(x) = f(x) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b], eine Bijektion ist. Bestimme die Inverse dieser g. |
Hallo,
ich habe ein Verständnissproblem mit dieser Aufgabe.
Soweit ich sie verstehe wird gefordert,
dass ich die Aufgaben, welche die Abbildung f: [mm] \IR \to \IR [/mm] aufweisen und keine Bijektion besitzen bearbeite.
Für diese Aufgaben soll ich nun Zahlen a,b finden.Dabei sei g[a.b] die Definitionsmenge und f([a,b]) die Zielmenge.
Mit dem Satz "gegeben durch g(x) = f(x)" kann ich nicht so richtig viel anfangen. Ich habe g als Intervall, welcher die Definitionsmenge darstellt verstanden. Was nun die Funktion g(x) sein soll verstehe ich nicht.
Klar ist mir nur, dass g(x) gleich der jeweiligen Zuordnungsvorschrift f(x) sein soll, die im gewählten Intervall eine Bijektion darstellt.
Dann müsste doch aber die Inverse [mm] g^{-1} [/mm] = [mm] f^{-1} [/mm] sein??
So ich hoffe, dass ich damit meine Verwirrung über diese Aufgabenstellung zum Ausdruck gemacht habe.
Anbei noch die Aufgaben auf die sich diese bezieht. Sollte mein bisheriges "Verständnis" stimmen, so muss ich die Aufgaben (a) und (e) bearbeiten, da sie die einzig beiden darstellen, die nicht Bijektiv sind und sich in [mm] f:\IR \to \IR [/mm] bewegen
a) $ [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] $ mit f(x) = $ [mm] x^2 [/mm] $ + x + 1
b) $ [mm] f:\IN \to \IN, [/mm] $ mit f(x) = $ [mm] x^2 [/mm] $ + x + 1
c) $ [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] $ mit f(x) = $ [mm] x^3. [/mm] $
d) $ [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] $ mit $ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ist ungleich null} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ ist gleich 0} \end{cases} [/mm] $
e) $ [mm] f:\IR \setminus \{-2\} \to \IR \setminus \{5\}, [/mm] $ mit f(x) $ [mm] =\bruch{5x}{x+2} [/mm] $
f) $ [mm] f:\IR \to \IR^+, [/mm] $ mit f(x)=|x-3|+3.
g) $ [mm] f:\IR^+ \to \IR^+, [/mm] $ mit f(x)= $ [mm] 2^x. [/mm] $
Ich bin bedanke mich im voraus für jede Erläuterung zu dieser Aufgabe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Di 27.09.2016 | | Autor: | leduart |
HALLO
g(x) ist einfach f(x) eingeschränkt auf das Gebiet [a,b] auf dem f umkehrbar, also monoton ist.
z.B [mm] f(x)=x^2+2x+1=(x+2)^2 [/mm] ist umkehrbar auf [mm] [-2,\infty) [/mm] also definierst du dann g(x)=f(x) für x in dem Gebiet und gibst die Umkehrfkt an. auch in [mm] (-infty\,-2) [/mm] kannst du ein [mm] g_2(x) [/mm] definieren
Gruß leduart
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Eine Funktion ist nicht nur definiert durch ihre Funktionsvorschrift, sondern auch durch ihre Definitions- und Wertemenge.
So ist z.B. [mm] f:\IR \mapsto \IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] weder injektiv (da f(1)=f(-1)) noch surjektiv (da es kein x mit f(x)=-1 gibt),
aber [mm] g:\IR_+ \mapsto \IR [/mm] mit [mm] g(x)=x^2 [/mm] ist injektiv (da aus g(a)=g(b) [mm] a^2=b^2 [/mm] und damit a=b folgt, da a und b >0 sein müssen), aber nicht surjektiv (s.o.),
und [mm] h:\IR_+ \mapsto \IR_+ [/mm] mit [mm] h(x)=x^2 [/mm] ist injektiv und surjektiv.
Alle drei Funktionen sind da, wo sie definiert sind, gleich, sind aber nicht identisch.
Den Rest hat dir leduard schon geschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Sa 01.10.2016 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für eure Hilfe
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