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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Di 02.02.2010 | | Autor: | Surfer |
Hallo habe ein Verständnisproblem mit der folgenden Aufgabe, also ich weiss, dass a) b) und d) liner unabhängig sind und c) liner abhängig. nur fehlt mir das Verständnis dazu dies zu begründen und mir vorzustellen. Deshalb bitte ich um Erklärung!
Aufgabe:
Entscheiden Sie, welche der folgenden Teilmengen im Vektorraum der stetigen Abbildungen
[mm] C^0(\IR) [/mm] linear unabhängig sind:
(a) M1 := {sin, cos}
(b) M2 := {sin, cos, exp}
(c) M3 := {x [mm] \to [/mm] sin(x), x [mm] \to [/mm] sin(x + [mm] \pi [/mm] /2), x [mm] \to [/mm] sin(x − [mm] \pi [/mm] /2)}
(d) M4 := {x [mm] \to [/mm] xn | n ∈ N, n ≤ [mm] n_{0} [/mm] } für beliebiges aber festes [mm] n_{0} [/mm] ∈ N
wäre sehr dankbar dafür!
lg Surfer
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Hallo,
beachte bitte, daß Dein Anhang nicht freigegeben werden könnte.
Lösung: eintippen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Di 02.02.2010 | | Autor: | Surfer |
ok habs abgetippt, bitte nun um hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Di 02.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo habe ein Verständnisproblem mit der folgenden
> Aufgabe, also ich weiss, dass a) b) und d) liner
> unabhängig sind und c) liner abhängig. nur fehlt mir das
> Verständnis dazu dies zu begründen und mir vorzustellen.
> Deshalb bitte ich um Erklärung!
>
> Aufgabe:
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Teilmengen im
> Vektorraum der stetigen Abbildungen
> [mm]C^0(\IR)[/mm] linear unabhängig sind:
> (a) $M1 := [mm] \{sin, cos\}$
[/mm]
> (b) $M2 := [mm] \{sin, cos, exp\}$
[/mm]
> (c) $M3 := [mm] \{x \to \sin(x), x \to \sin(x + \pi/2), x \to\sin(x-\pi/2)\}$
[/mm]
> (d) $M4 := [mm] \{x \to xn \mid n \in N, n \le n_{0} \}$ [/mm] für beliebiges aber festes [mm]n_{0} \in N[/mm]
Versteh ich nicht: was ist $xn$?
Nimm dir systematisch die Definition der linearen (Un)abhängigkeit: ein System von Vektoren [mm] $\{v_i\}$ [/mm] ist linear unabhängig, wenn aus
[mm] \summe_{i} \lambda_i v_i = 0[/mm]
zwingend folgt, dass alle [mm] $\lambda_i=0$ [/mm] sind.
Im Falle der Aufgabe (a) hast du nur die zwei Vektoren [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$. [/mm] Die Null im Vektorraum der stetigen Funktionen [mm]C^0(\IR)[/mm] ist die Nullfunktion, deren Wert für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gleich 0 ist.
Also hast du hier
[mm] \lambda_1 \sin + \lambda_2 \cos \equiv 0 [/mm]
oder
[mm] \lambda_1 \sin x + \lambda_2 \cos x = 0[/mm] für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Kannst du daraus ableiten, dass [mm] $\lambda_1=\lambda_2=0$ [/mm] sein müssen, so sind die beiden linear unabhängig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Di 23.02.2010 | | Autor: | Surfer |
Hallo muss hier nochmal einklinken, wirklich klar ist mir diese Aufgabe immer noch nicht! Wie muss ich mir das vorstellen? Muss ich immer untersuchen wie verläuft sin und wie cos oder gibt es eine einfachere Möglichkeit um sie Lambdas zu bestimmen?
lg Surfer
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> Hallo muss hier nochmal einklinken, wirklich klar ist mir
> diese Aufgabe immer noch nicht! Wie muss ich mir das
> vorstellen?
Hallo,
vorstellen tust Du dir am besten erstmal gar nichts. Die Lotsen sind die Definitionen.
Eigentlich hat Rainer je schon recht gut erklärt, was zu tun ist, aber in der Hoffnung, daß Wiederholung nützlich ist:
Du bist gerade im Vektorraum der rellen Funktionen mit den einschlägigen Verknüpfungen, und Du möchtest wissen, ob die Vektoren sin und cos linear unabhängig sind.
Linear unabhängig sind sie, wenn aus [mm] \lambda [/mm] sin + [mm] \mu [/mm] cos = Nullfunktion folgt, daß [mm] \lambda=\mu=0.
[/mm]
Schauen wir also nach: es seine [mm] \lambda, \mu \in \IR [/mm] mit
[mm] \lambda [/mm] sin + [mm] \mu [/mm] cos = Nullfunktion.
Nun muß man sich erstmal überlegen, was das bedeutet. Man hat es hier mit der Gleichheit von Funktionen zu tun.
Wann sind sie gleich? Wenn ihre Funktionswerte auf dem kompletten Definitionsbereich übereistimmem.
Also folgt
Für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt
[mm] (\lambda [/mm] sin + [mm] \mu [/mm] cos)(x) = Nullfunktion(x)
==>
Für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt
[mm] \lambda [/mm] sin(x) + [mm] \mu [/mm] cos(x) = 0.
Wenn dies für alle x gelten soll, dann gilt es insbesondere für ausgewählte x.
Es muß also etwa gleichzeitig gelten
[mm] \lambda [/mm] sin(1) + [mm] \mu [/mm] cos(1) = 0
[mm] \lambda [/mm] sin(2) + [mm] \mu [/mm] cos(2) = 0
[mm] \lambda [/mm] sin(3) + [mm] \mu [/mm] cos(3) = 0.
Die Auswahl dieser Stellen allerdings ist ungeschickt, weil man nicht gut damit rechnen kann.
Wählt man x=0 und [mm] x=6\pi [/mm] bekommt man keine verwertbare Aussage.
Aber
z.B. x=0 und [mm] x=\pi/2 [/mm] bringen einen weiter. Probier mal, was Du damit bekommst...
Damit, durch geschickte Wahl von Stellen ein aussagekräftiges LGS zu bekommen, liegt man schonmal nicht verkehrt, wenn man Funktionen auf Unabhängigkeit prüfen möchte. Natürlich gelingt einem das umso besser und schneller, je genauer man über die beteiligten Funktionen bescheid weiß. In anderen Situationen hilft auch mal das Ableiten weiter, bei Polynomen ein Koeffizientenvergleich.
Willst Du Abhängigkeit zeigen, so mußt Du vormachen, wie man eine der Funktionen als Linearkombination der anderen schreiben kann.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Di 23.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hallo muss hier nochmal einklinken, wirklich klar ist mir
> diese Aufgabe immer noch nicht! Wie muss ich mir das
> vorstellen? Muss ich immer untersuchen wie verläuft sin
> und wie cos oder gibt es eine einfachere Möglichkeit um
> sie Lambdas zu bestimmen?
Die muss man ja nicht immer bestimmen, eine weitere Möglichkeit ist die ![[]](/images/popup.gif) Wronski-Determinante.
SEcki
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