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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Calculu |
Hallo.
Ich habe eine Frage bei deren Antwort ich mir nicht sicher bin.
Und zwar:
Wenn X ein metr. Raum ist. Und ich weiß dass X kompakt ist. Sind dann alle A [mm] \subset [/mm] X auch kompakt.
Ich denke ja. Falls nein, wäre es super wenn mir jemand ein Gegenbeispiel geben könnte.
Vielen Dank!
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Hallo Calculu,
> Hallo.
> Ich habe eine Frage bei deren Antwort ich mir nicht sicher
> bin.
> Und zwar:
>
> Wenn X ein metr. Raum ist. Und ich weiß dass X kompakt
> ist. Sind dann alle A [mm]\subset[/mm] X auch kompakt.
>
> Ich denke ja.
Wieso denkst du das?
Nimm als [mm]X[/mm] den [mm]\IR[/mm] und als kompakte Menge zB. das Intervall [mm]I=[0,1][/mm]
Ist das Ding überhaupt kompakt?
Als [mm]A[/mm] nimmst du von mir aus das Intervall [mm](0,1)[/mm] oder $[0,1)$ ... oder $(1/2,3/4)$
Also [mm]A\subset I[/mm]
Ist [mm]A[/mm] denn kompakt?
> Falls nein, wäre es super wenn mir jemand
> ein Gegenbeispiel geben könnte.
>
> Vielen Dank!
Gruß
schachuzipus
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Hoppa!
Wer lesen kann ist klar im Vorteil.
Mein Gegenbsp. ist gar keines.
Ich hatte "gelesen", dass $X$ eine kompakte TM eines metr. Raumes sein sollte ...
Danke für den Hinweis an Shadowmaster!!
Ich Schnarchhahn ...
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Calculu |
Hat sonst vl jemand ne Idee?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Fr 15.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin schachuzipus,
> Wer lesen kann ist klar im Vorteil.
>
> Mein Gegenbsp. ist gar keines.
doch.
> Ich hatte "gelesen", dass [mm]X[/mm] eine kompakte TM eines metr.
> Raumes sein sollte ...
Eine kompakte TM eines metrischen Raumes ist mit der induzierten Metrik ein kompakter metrischer Raum.
Also kann man etwa $X = [0, 1]$ mit der induzierten Metrik nehmen: dieser metrische Raum ist kompakt.
Die Teilmenge $A = (0, 1) [mm] \subseteq [/mm] X$ dagegen ist nicht kompakt.
Allgemein gilt: ist $X$ ein kompakter metrischer Raum, so ist $A [mm] \subseteq [/mm] X$ genau dann kompakt, wenn $A$ abgeschlossen ist.
(Die eine Richtung zeigt man wie im Beweis von Heine-Borel, fuer die andere kann man jede offene Ueberdeckung von $A$ durch die offene Menge $X [mm] \setminus [/mm] A$ zu einer offenen Ueberdeckung von $X$ erweitern.)
LG Felix
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