Verständnisfrage Supremum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mi 06.04.2011 | | Autor: | physicus |
Liebes Forum
Ich habe eine reine Verständnis Frage. Es liegt wohl eher ein sprachliches Problem vor: Wenn man sagt, dass ein Supremum immer angenommen wird, was genau meint man damit? Ist damit gemeint, dass das Supremum einer Teilmenge dann immer in derselben liegt, also durch das Maximum ersetzt werden kann?
Gruss
physicus
|
|
| |
|
> Liebes Forum
>
> Ich habe eine reine Verständnis Frage. Es liegt wohl eher
> ein sprachliches Problem vor: Wenn man sagt, dass ein
> Supremum immer angenommen wird, was genau meint man damit?
> Ist damit gemeint, dass das Supremum einer Teilmenge dann
> immer in derselben liegt, also durch das Maximum ersetzt
> werden kann?
>
> Gruss
>
> physicus
Hallo physicus,
vorausgesetzt ist bestimmt eine nach oben beschränkte
Menge A (z.B. als Teilmenge von [mm] \IR).
[/mm]
Eine solche Menge hat nicht unbedingt ein Maximum, aber
immer ein Supremum. Der Unterschied in der Definition ist
der, dass ein Maximum von A Element von A sein müsste.
Das Supremum einer Menge [mm] A\subset\IR [/mm] muss hingegen nicht
zu A gehören.
Das halboffene Intervall A=[a;b) besitzt kein Maximum, aber
das Supremum b . Das Infimum inf(A)=b ist dagegen gleich-
zeitig das Minimum.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mi 06.04.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Al-Chw
Danke für deine schnelle Antwort. Ich hätte mich etwas präziser ausdrücken müssen. Es geht um folgende Menge:
[mm] \parallel z \parallel_X = \sup\{|f(z)| ; f \in L(X,\IR),\parallel f \parallel \le 1 \} [/mm]
Wobei X irgendein normierter Raum ist und f ein stetiges lineares Funktional. Nun heisst es eben in einem Abschnitt darunter. Dieses Supremum wird auch stets angenommen. D.h. ich kann doch das Supremum einfach durch ein Maximum ersetzen.
Eine Anschlussfrage stellt sich mir hier noch. Wie zeigt man, dass ein Supremum stets angenommen wird?
Gruss
physicus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Al-Chw
>
> Danke für deine schnelle Antwort. Ich hätte mich etwas
> präziser ausdrücken müssen. Es geht um folgende Menge:
>
> [mm]\parallel z \parallel_X = \sup\{|f(z)| ; f \in L(X,\IR),\parallel f \parallel \le 1 \}[/mm]
>
> Wobei X irgendein normierter Raum ist und f ein stetiges
> lineares Funktional. Nun heisst es eben in einem Abschnitt
> darunter. Dieses Supremum wird auch stets angenommen. D.h.
> ich kann doch das Supremum einfach durch ein Maximum
> ersetzen.
>
> Eine Anschlussfrage stellt sich mir hier noch. Wie zeigt
> man, dass ein Supremum stets angenommen wird?
Du hast hier eine ganz spezielle Situation und einen mächtigen Satz, der obiges garantiert: der Satz von Hahn-Banach. Eine Folgerung aus diesem Satz besagt:
zu z [mm] \in [/mm] X, z [mm] \ne [/mm] 0, ex. ein f [mm] \in L(X;\IR) [/mm] mit: [mm] f(z)=||z||_X [/mm] und ||f||=1.
FRED
>
>
> Gruss
>
> physicus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Fr 08.04.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Fred,
Ich danke dir für die schnelle Antwort. Noch scheint mir das ganz nicht ganz klar zu sein. Ich habe das Gefühl, dass ich den Beweis nicht ganz verstehe. An der Uni haben wir das ganze wie folgt gemacht:
Zuerst haben mir aus Hahn-Banach gefolgert, dass es zu jedem [mm] x \in X \exists x^\* \in L(X,\IR) [/mm] mit der Eigenschaft:
[mm] x^\*(x)=\parallel x \parallel^2_X = \parallel x^\* \parallel^2_{L(X,\IR)} [/mm]
Der Beweis ist absolut klar. Nun wollte ich eben obige Aussage zeigen, dass heist:
[mm]\parallel x \parallel_X = \max\{|x^\*(x)| ; x^\* \in L(X,\IR),\parallel x^\* \parallel \le 1 \}[/mm]
Ich kann nach obigem Resultat also so ein lineares Funktional zu $\ x [mm] \in [/mm] X $ wählen. Folgende Ungleichung folgt ja unmittelbar aus der Definition von der Operatornorm:
[mm]\parallel x \parallel_X \ge \sup\{|x^\*(x)| ; x^\* \in L(X,\IR),\parallel x^\* \parallel \le 1 \}[/mm]
Die andere Richtung der Ungleichung (oder genauer gesagt Gleichheit) bleibt ja noch zu zeigen. Dann weiss ich, dass ich das Supremum durch ein Maximum ersetzen kann. Sehe ich das richtig?
Meine zweite Frage ist, wie sehe ich diese andere Ungleichung. Es muss aus dem lemma, welches ich oben angeschrieben haben, folgen. Leider steh ich vollkommen auf dem Schlauch und seh's nicht. Also bitte habt ein wenig Nachsicht mit mir :)
Ich danke euch für die Antworten!
Gruss
physicus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 So 10.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Ich danke dir für die schnelle Antwort. Noch scheint mir
> das ganz nicht ganz klar zu sein. Ich habe das Gefühl,
> dass ich den Beweis nicht ganz verstehe. An der Uni haben
> wir das ganze wie folgt gemacht:
>
> Zuerst haben mir aus Hahn-Banach gefolgert, dass es zu
> jedem [mm]x \in X \exists x^\* \in L(X,\IR)[/mm] mit der
> Eigenschaft:
>
> [mm]x^\*(x)=\parallel x \parallel^2_X = \parallel x^\* \parallel^2_{L(X,\IR)}[/mm]
>
> Der Beweis ist absolut klar.
Mir nicht. Wo kommen denn die Quadrate her ? Die haben da nix zu suchen !
Nun wollte ich eben obige
> Aussage zeigen, dass heist:
>
> [mm]\parallel x \parallel_X = \max\{|x^\*(x)| ; x^\* \in L(X,\IR),\parallel x^\* \parallel \le 1 \}[/mm]
>
>
> Ich kann nach obigem Resultat also so ein lineares
> Funktional zu [mm]\ x \in X[/mm] wählen. Folgende Ungleichung folgt
> ja unmittelbar aus der Definition von der Operatornorm:
>
> [mm]\parallel x \parallel_X \ge \sup\{|x^\*(x)| ; x^\* \in L(X,\IR),\parallel x^\* \parallel \le 1 \}[/mm]
>
> Die andere Richtung der Ungleichung (oder genauer gesagt
> Gleichheit) bleibt ja noch zu zeigen. Dann weiss ich, dass
> ich das Supremum durch ein Maximum ersetzen kann. Sehe ich
> das richtig?
>
> Meine zweite Frage ist, wie sehe ich diese andere
> Ungleichung. Es muss aus dem lemma, welches ich oben
> angeschrieben haben, folgen. Leider steh ich vollkommen auf
> dem Schlauch und seh's nicht. Also bitte habt ein wenig
> Nachsicht mit mir :)
>
Wenn Du oben die Quadrate wegläßt hast Du doch alles vor der Nase !
FRED
> Ich danke euch für die Antworten!
>
> Gruss
>
> physicus
|
|
|
|
