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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Di 01.03.2011 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | | Wenn [mm] A\subseteq R^{2} [/mm] offen und beschränkt ist, so ist Komplement [mm] A'=R^{2} [/mm] \ A kompakt. |
Hallo,
hoffentlich kann mir jemand hierbei einen Denkanstoß geben.
Es gilt ja, wenn eine Teilmenge T [mm] \subseteq [/mm] U offen ist, muss T'= U \ T abgeschlossen sein. Die Randpunkte von T liegen in T'. Aber wie kann das im obrigen Fall sein? Wie kann [mm] A'=R^{2} [/mm] \ A abgeschlossen sein? Selbst wenn die Menge A "ausgeschlossen" wird und somit A' an den Grenzen der "weggefallenen" Menge A die Randdpunkte besitzt, entwickelt sich R doch ins unendliche?
Das gleiche Problem mit der Beschränktheit. Wie kann [mm] A'=R^{2} [/mm] \ A da kompakt sein?
Konkretes Bsp.:
A= [mm] \begin{cases}(x,y)| 0
A ist offen und unbeschränkt. Ist denn jetzt [mm] A'=R^{2} [/mm] \ A kompakt?
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> Wenn [mm]A\subseteq R^{2}[/mm] offen und beschränkt ist, so ist
> Komplement [mm]A'=R^{2}[/mm] \ A kompakt.
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> Hallo,
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> hoffentlich kann mir jemand hierbei einen Denkanstoß
> geben.
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> Es gilt ja, wenn eine Teilmenge T [mm]\subseteq[/mm] U offen ist,
> muss T'= U \ T abgeschlossen sein. Die Randpunkte von T
> liegen in T'. Aber wie kann das im obrigen Fall sein? Wie
> kann [mm]A'=R^{2}[/mm] \ A abgeschlossen sein? Selbst wenn die
> Menge A "ausgeschlossen" wird und somit A' an den Grenzen
> der "weggefallenen" Menge A die Randdpunkte besitzt,
> entwickelt sich R doch ins unendliche?
>
> Das gleiche Problem mit der Beschränktheit. Wie kann
> [mm]A'=R^{2}[/mm] \ A da kompakt sein?
Das ist mir auch unklar. Das Komplement von A ist abgeschlossen, weil A eine offene Menge ist. Aber es ist offensichtlich nicht beschränkt und nach der Definition von Kompaktheit damit nicht kompakt.
Bist du dir sicher, dass mit [mm] R^2 [/mm] die Menge [mm] \IR^2 [/mm] gemeint ist?
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> Konkretes Bsp.:
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> A= [mm]\begin{cases}(x,y)| 0
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> A ist offen und unbeschränkt. Ist denn jetzt [mm]A'=R^{2}[/mm] \ A
> kompakt?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Di 01.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Antwort
Oh man! Richtig lesen hilft. Hab total übersehen, dass in der Aufgabenstellung steht es soll begründet entschieden werden, ob die Aussage wahr ist oder nicht.
Wie kann ich nun mathematisch begründen, dass dem nicht so ist?
mfg,
Lentio
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Hi,
> Danke für die Antwort
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> Oh man! Richtig lesen hilft. Hab total übersehen, dass in
> der Aufgabenstellung steht es soll begründet entschieden
> werden, ob die Aussage wahr ist oder nicht.
>
> Wie kann ich nun mathematisch begründen, dass dem nicht so
> ist?
Indem du einfach, wie schon getan, begründest, dass das Komplement nicht beschränkt ist.
Oder äquivalent dazu, dass man leicht eine Folge im Komplement kostruieren kann, die bestimmt in einer Dimension gegen [mm] \infty [/mm] divergiert. Das ist aber auch nicht erlaubt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Di 01.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort
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> Oh man! Richtig lesen hilft. Hab total übersehen, dass in
> der Aufgabenstellung steht es soll begründet entschieden
> werden, ob die Aussage wahr ist oder nicht.
>
> Wie kann ich nun mathematisch begründen, dass dem nicht so
> ist?
Mit einem konkreten Beispiel. Z.B. A = offene Kreisscheibe um (0,0) mit Radius 1.
FRED
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>
> mfg,
>
> Lentio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Das ist jetzt peinlich, aber mir ist wieder ein Fehler untergekommen. In der Fragestellung stand "Menge A offen und unbeschränkt, Komplement kompakt?". Wie sieht es jetzt in diesem Fall aus?
mfg
lentio
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Hallo Lentino,
> Das ist jetzt peinlich, aber mir ist wieder ein Fehler
> untergekommen. In der Fragestellung stand "Menge A offen
> und unbeschränkt, Komplement kompakt?". Wie sieht es
> jetzt in diesem Fall aus?
Na, was meinst du denn selbst?
Eine Vermutung?
Betrachte mal [mm]A=\left\{\vektor{x\\
y}\in\IR^2 \ \mid \ -1
Was ist das für ein Gebilde?
Ist es offen und unbeschränkt?
Wie sieht [mm]A^c[/mm] aus? Kompakt oder nicht?
>
>
> mfg
>
> lentio
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Hallo
Ich hoffe die Antwort kommt nicht zu spät.
Also die Menge A ist auf jeden Fall offen und unbeschränkt. Dafür muss dann das Komplement dann ja abgeschlossen sein. Das Komplement wird zwar im bereich der Menge A eingeschränkt, aber wächst doch nach außen unbeschränkt weiter?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Also die Menge A ist auf jeden Fall offen und
> unbeschränkt. Dafür muss dann das Komplement dann ja
> abgeschlossen sein. Das Komplement wird zwar im bereich der
> Menge A eingeschränkt, aber wächst doch nach außen
> unbeschränkt weiter?
Das stimmt, jetzt musst du noch mathematisch formulieren, was dir anschaulich klar ist. Weiter oben wurde schon erwähnt, wie du zeigen kannst, dass eine Menge nicht beschränkt ist. Konstruiere dir eine Folge in [mm] $A^c$, [/mm] die divergiert. Wie könnte eine solche Folge aussehen? Dann bist du fertig, denn [mm] $A^c$ [/mm] kann nicht kompakt sein.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für den Tipp!
Also so z.B: [mm] x_{n} \in A^{c}= R^{2} [/mm] \ A , [mm] x_{n}= e^{x}?
[/mm]
mfg,
lentio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lippel |
> Danke für den Tipp!
>
> Also so z.B: [mm]x_{n} \in A^{c}= R^{2}[/mm] \ A , [mm]x_{n}= e^{x}?[/mm]
>
Vorsicht, ich sehe nicht, dass deine Folge im [mm] $\IR^2$ [/mm] liegt! Für die x-Komponente deiner Folge kannst du das allerdings so nehmen, aber was ist dann die y-Komponente?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Und wenn ich das so schreibe: [mm] \vec{x_{k}}=(e_{k}, [/mm] k) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lippel |
> Und wenn ich das so schreibe: [mm]\vec{x_{k}}=(e_{k},[/mm] k) ?
Falls du mit [mm] $e_k$ [/mm] eigentlich [mm] $e^k$ [/mm] meinst, dann ja. Den Vektorpfeil lassen Mathematiker in der Regel weg, das ist eher eine Physikerschreibweise. Einfacher wäre beispielsweise: [mm] $x_k [/mm] = (k,0)$. Diese Folge liegt ganz in [mm] $A^c\:$ [/mm] und ist offenbar divergent.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Ups! Ja, da habe ich wohl zu schnell getippt. Danke für die Hilfe.
mfg,
Lentio
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