Verständnisfrage zu Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Di 29.12.2015 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | a) Sei [mm] (a_n) [/mm] die Folge aller natürlichen Zahlen, die nicht die Ziffernfolge 2016 enthalten, also die Folge 1,2,...,2015, 2017, ..., 20159, 20170, ...22015, 22016, .... Zeigen Sie, dass:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{a_n} [/mm] konvergiert
b) Sei [mm] (b_n) [/mm] die Folge aller natürlichen Zahlen, die die Ziffernfolge 2016 enthalten. Zeigen Sie, dass:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{b_n} [/mm] divergiert. |
Hallo,
bei obigen Aufgaben stellt sich mir zuerst folgende Frage:
Wie kann [mm] a_n [/mm] konvergieren obwohl [mm] b_n [/mm] divergiert? Es gilt doch offensichtlich [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] > [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] oder nicht?
Naja jetzt zu den Aufgaben selbst:
Bei der a) habe ich das Quotientenkriterium versucht:
Also: [mm] \bruch{\bruch{1}{a_{n+1}}}{\bruch{1}{a_n}}=\bruch{a_n}{a_{n+1}}
[/mm]
Viel weiter bin ich nicht gekommen. Der obige Bruch konvergiert für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen 1 oder? Dadurch könnte ich ja keine Aussage über die Konvergenz der Reihe machen...
Bei der Aufgabe b) weiß ich leider nicht welches Kriterium ich versuchen soll, ich kenne nur diese drei: Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Leibnizkriterium.
LG
Manu271
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Hiho,
> bei obigen Aufgaben stellt sich mir zuerst folgende Frage:
> Wie kann [mm]a_n[/mm] konvergieren obwohl [mm]b_n[/mm] divergiert?
das steht nirgends. Sowohl [mm] $a_n$ [/mm] als auch [mm] $b_n$ [/mm] divergieren.
> Es gilt doch offensichtlich [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_n[/mm] oder nicht?
Na was nun? Gilt die Aussage offensichtlich "oder nicht?".
Wie kannst du etwas, was (vermeindlich) offensichtlich ist, mit einem "oder nicht?" beenden?
Im Übrigen gilt offensichtlich [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n = \summe_{n=1}^{\infty}b_n = \infty[/mm]
Danach ist aber gar nicht gefragt.....
> Naja jetzt zu den Aufgaben selbst:
> Bei der a) habe ich das Quotientenkriterium versucht:
> Also:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{a_{n+1}}}{\bruch{1}{a_n}}=\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]
> Viel weiter bin ich nicht gekommen. Der obige Bruch
> konvergiert für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gegen 1 oder?
> Dadurch könnte ich ja keine Aussage über die Konvergenz
> der Reihe machen...
Korrekt, das wird dich auch nicht weiterbringen.
Tipp: Finde durch Abschätzen eine konvergente Majorante.
> Bei der Aufgabe b) weiß ich leider nicht welches Kriterium
> ich versuchen soll, ich kenne nur diese drei:
> Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Leibnizkriterium.
Wenn du die a) hast, wird die b) einfach, wenn du dir einfach mal klar machst, was die Summe aus beiden Reihen ist und was du darüber weißt.....
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Di 29.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh mal in wiki nach Kempner Reihen, da findest du die Beweisidee.
deine Ungleichung, auch wenn du [mm] 1/a_n [/mm] meinst ist natürlich falsch, weniger Summanden= kleinere Summe.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Di 29.12.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo Manu,
b) ist leicht.
Es gilt [mm] $\frac{1}{2016}>\frac{1}{2017}$.
[/mm]
Es gilt weiterhin:
[mm] $\frac{1}{20160}>\frac{1}{20170}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{20161}>\frac{1}{20170}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{20162}>\frac{1}{20170}$
[/mm]
...
[mm] $\frac{1}{20169}>\frac{1}{20170}$, [/mm] womit die Summe dieser 10 Brüche ebenfalls größer ist als [mm] $\frac{10}{20170}=\frac{1}{2017}$.
[/mm]
Mit [mm] $\frac{1}{201600}>\frac{1}{201700}$... [/mm] bis [mm] $\frac{1}{201699}>\frac{1}{201700}$ [/mm] findest du dann 100 Brüche, deren Summe größere ist als [mm] $\frac{100}{201700}=\frac{1}{2017}$ [/mm] usw.
Deine Summe ist letztendlich größer als die Summe von unendlich vielen Summanden [mm] $\frac{1}{2017}$ [/mm] .
Gruß Abakus
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