Verständnisfrage zu Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
ich habe hier folgendes stehen:
Ringe sind also Gruppen mit einer zweiten Verknüpfung, für die allerdings noch keine inversen gefordert werden..
Den ersten Teil des Satzes verstehe ich... Das mit den inversen jedoch nicht mehr :(
Könnt ihr mir das bitte erklären
Gruß,
steffi
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> ich habe hier folgendes stehen:
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> Ringe sind also Gruppen mit einer zweiten Verknüpfung, für
> die allerdings noch keine inversen gefordert werden..
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> Den ersten Teil des Satzes verstehe ich... Das mit den
> inversen jedoch nicht mehr :(
Hallo,
Ein Ring ist eine Menge R mit zwei inneren Vernüpfungen [mm] \oplus [/mm] und [mm] \odot, [/mm] welche bestimmten Anforderungen genügen müssen.
1. Zusammen mit der Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] ist R eine Gruppe.
2. Zusammen mit der Verknüpfung [mm] \odot [/mm] erfüllt R ohne das neutrale Element der Addition fast alle Gruppenaxiome. Es muß aber nicht gelten, daß es zu jedem Element bzgl [mm] \odot [/mm] ein Inverses gibt.
Ein Beispiel für einen Ring sind die ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation.
Gruß v. Angela
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Kurzgesagt:
Die erste Verknüpfung [mm] \oplus
[/mm]
muss alle Gruppenaxiome erfüllen.
Die zweite Verknüpfung [mm] \odot [/mm] muss alle Gruppenaxiome ebenfalls erfüllen, jedoch muss kein inverses für [mm] \odot [/mm] vorhanden sein
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> Kurzgesagt:
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> Die erste Verknüpfung [mm]\oplus[/mm]
> muss alle Gruppenaxiome erfüllen.
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> Die zweite Verknüpfung [mm]\odot[/mm] muss alle Gruppenaxiome
> ebenfalls erfüllen, jedoch muss kein inverses für [mm]\odot[/mm]
> vorhanden sein
Ja. Im Übereifer hatte ich aber die Distributivgesetze vergessen! Die sind natürlich wichtig.
Gruß v. Angela
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okey, dass habe ich soweit verstanden...
Bei der Def. zu gruppen habe ich stehen:
1. assoziativ
2. neutrales
3. inverses
nun sagtest du [mm] \odot [/mm] muss alle erfüllen bis auf inverses..
in meiner def. zu ringen steht aber:
1. [mm] \oplus [/mm] ist Gruppe
2. [mm] \odot [/mm] ist assoz.
3. Distr. gesetz
4. Es gibt ein [mm] 1\in [/mm] R , 1 [mm] \not= [/mm] 0, so dass für alle a [mm] \in \IR [/mm] gilt 1 * a = a * 1r = a....
Verstehe ich es hier richtig, dass es einfach nur (unnötig ;) ) auseinandergezogen ist?
Weil mit Deiner Definition [mm] \odot [/mm] ist Gruppe bis auf das inv. ist ja die 4 mit eingeschlossen oder ?
Und dann bitte noch eine Frage :)
Nullteiler und Einheiten.
Als beispiel habe ich hier stehen:
R = [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ [/mm] , Es gilt [2] * [3] = [6] * [0]. Also sind [2] und [3] Nullteiler.
Das verstehe ich nicht so ganz.
Also Was R = [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ [/mm] weiß ich ...
Und ist das Beispiel bewusst gewählt für die Multiplikation weil es mit der Add. nicht geht ?
Kann ich also sagen: Nullteiler sind die 2 Zahlen, die addiert / multipliziert die 0 ergeben?
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> okey, dass habe ich soweit verstanden...
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> Bei der Def. zu gruppen habe ich stehen:
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> 1. assoziativ
> 2. neutrales
> 3. inverses
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> nun sagtest du [mm]\odot[/mm] muss alle erfüllen bis auf inverses..
>
> in meiner def. zu ringen steht aber:
>
>
> 1. [mm]\oplus[/mm] ist Gruppe
> 2. [mm]\odot[/mm] ist assoz.
> 3. Distr. gesetz
> 4. Es gibt ein [mm]1\in[/mm] R , 1 [mm]\not=[/mm] 0, so dass für alle a [mm]\in \IR[/mm]
> gilt 1 * a = a * 1r = a....
>
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> Verstehe ich es hier richtig, dass es einfach nur (unnötig
> ;) ) auseinandergezogen ist?
Es beinhaltet 2. und 4. das, was ich "gelten die Gruppenaxiome außer Inverses" genannt habe.
> Und dann bitte noch eine Frage :)
>
> Nullteiler und Einheiten.
>
> Als beispiel habe ich hier stehen:
>
> R = [mm]\IZ[/mm] / 6 [mm]\IZ[/mm] , Es gilt [2] * [3] = [6] * [0]. Also sind
> [2] und [3] Nullteiler.
Da stand bestimmt [2] * [3] = [6] = [0]
Nullteiler: wenn zwei von der Null verschiedenen Elemente miteinander multipliziert die Null ergeben, sind das Nullteiler.
> Und ist das Beispiel bewusst gewählt für die Multiplikation
> weil es mit der Add. nicht geht ?
Die Null ist immer das neutrale Element bzgl der ersten Verknüpfung.
Bei "Nullteiler" geht es darum, ob man mit der zweiten verknüfung zwei von der Null verschiedene Elemente verknüpfen kann, so daß sich das neutrale der ersten Verknüpfung ergibt.
> Kann ich also sagen: Nullteiler sind die 2
von Null verschiedene Elemente
> multipliziert die 0 ergeben.
Gruß v. Angela
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wow, vielen vielen Dank für die klasse Erklärung...
Kannst Du mir bitte ebenfalls "so" Einheit erklären ? :)
Oder sind das einfach alle nicht-nullteiler
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Hallo Steffi,
Einheiten in einem (kommutativen) Ring sind (multiplikativ) invertierbare Elemente.
Ist ein Ring nicht kommutativ, spricht man von Linkseinheit und Rechtseinheit.
Überlege dir mal, welches im kommutativen Ring [mm] $(\IZ,+,\cdot{})$ [/mm] die Einheiten sind
Welche Elemente in [mm] $\IZ$ [/mm] sind bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] invertierbar?
Und welches sind die Einheiten im Ring [mm] $\IR[x]$ [/mm] der Polynome mit reellen Koeffizienten?
LG
schachuzipus
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hm.. also ich hab versucht ein wenig im Internet dadrüber zu lesen..
Aber ich komme einfach nicht drauf :(
Habe rausgefunden, dass es -1 und 1 iist.. aber warum nicht 2, 3, .....
usw... verstehe ich nicht :(
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 So 16.03.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo Steffi,
im Ring der ganzen Zahlen sind nur +1 und -1 Einheiten, denn das Inverse von 2 bzgl. Multiplikation wäre [mm] \frac{1}{2} [/mm] und das ist keine ganze Zahl mehr.
Bei Ringen unterscheidet man einige Varianten:
Ein Ring muß zuunächst bzgl. der zweiten Verknüpfung nur assoziativ sein und die Distributivgesetze müssen gelten (Bzgl. der ersten Verknüfung ist jeder Ring eine kommutative Gruppe).
Beispiel: Alle 2x2-Matrizen mit geraden ganzen Zahlen als Koeffizienten.
Ist die zweite Verknüfung kommutativ, so heißt der Ring kommutativ.
Beispiel: alle geraden ganzen Zahlen.
Gibt es ein neutrales Element bzgl. der zweiten Verknüpfung,so heist der Ring "Ring mit Eins".
Beispiel: Die Restklassen innerhalb der ganzen Zahlen bei der Division durch 6
Ist der Ring kommutativ, nullteilerfrei und hat er ein Einselement, so heißt er Integritätsbereich.
Bespiel: Die ganzen Zahlen
Es gibt darüberhinaus noch jede Menge von speziellen Ringen.
Ist der Ring bezgl. der zweiten Verknüpfung auch eine kommutative Gruppe, so heißt er Körper.
Beispiel: Die Restklassen innerhalb der ganzen Zahlen bei der Division durch 7
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Vielen Dank.
Habe es nun für [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ [/mm] probiert..
Hier bin ich aber nur drauf gekommen, dass es 1 ist..
Kannst Du mir bitte vielleicht noch sagen wie ich die anderen (falls vorhanden) finde ?
Hier hatte ich halt
[mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1... :)
Edit:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = -> geht nicht (?)
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] = -> geht nicht (?)
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] = -> geht nicht (?)
[mm] \bruch{1}{5} [/mm] = -> geht nicht (?)
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] = -> geht nicht (?)
hmmmm
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> Vielen Dank.
>
> Habe es nun für [mm]\IZ[/mm] / 6 [mm]\IZ[/mm] probiert..
Hallo,
was eigentlich? Einheiten gesucht?
Rechne in obigem Ring mal 5*5 aus.
Du siehst die Einheiten in der Verknüpfungstafel daran, daß in ihrer Zeile die 1 vorkommt.
Gruß v. Angela
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aber eine Tabelle kann ich doch nicht in der Klausur "auf die schnelle" machen wenn in der Klausur die Einheiten gefragt werden 
5*5 = 25 im [mm] 6\IZ [/mm] sind das 1.
Tut mir echt leid für die Umstände :(
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> aber eine Tabelle kann ich doch nicht in der Klausur "auf
> die schnelle" machen wenn in der Klausur die Einheiten
> gefragt werden
Hallo,
och, eine Tabelle für [mm] \IZ [/mm] / [mm] 6\IZ [/mm] ist aber eine blitzschnelle Sache.
Hast Du's mal gemacht?
Aber sofern es um [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ [/mm] geht, gibt's da noch etwas: die zu n teilerfremden Elemente sind invertierbar.
Gruß v. Angela
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