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Hallo, ich habe z.z. noch bisschen probleme mit dem verständnis von einigen sätzen. wäre super, wenn die mir jemand bisschen näher erläutern könnte.
1.
wir haben das skalarprodukt <f,g>= [mm] (\bruch{1}{\pi})\integral_{0}^{2 \pi}{f(t)*g(t) dt}.
[/mm]
so dann haben wir rausbekommen, dass <sin(kx),sin(kx)>=1 ist bzgl. dieses Skalarprodukts .
d.h. [mm] \parallel [/mm] sin(kx) [mm] \parallel [/mm] = 1 und außerdem ist <sin(x),sin(kx)>=0
Also ist {sin(x), sin(2x),...} eine orthogonale Familie von Vek. bzgl. des oben genannten Skalarprodukts (ONB).
So meine Frage, dies gilt aber nicht für jedes Skalarpordukt oder? Also {sin(x), sin(2x),...} ist nicht bzgl. jedes Sklarprodukt eine ONB?
2. Satz:
Sei (v,s) ein e. oder u. VR. Ist [mm] B=(b_1,...,b_n) [/mm] eine ONB bzgl. s, so gilt:
[mm] M_B^B(s)= [/mm] E.
So hier meine Frage. Gilt das bzgl. jedes Sklarprodukts, dass [mm] M_B^B(s)= [/mm] E ist, oder ist das nur bzgl. des Standardskalarprodukts möglich?
3. Es gilt ja, dass jeder endlichdimensionaler VR immer eine ONB besitzt, jedoch ist dies bei unendlichdim. VR nicht immer der Fall.
So meine Frage, jedoch bilden in [mm] \IR^n [/mm] die Einheitsvektoren doch auch immer eine ONB oder?
4. Satz:
Sei V ein n-dim e. oder u. VR. Dann gilt für UVR U [mm] \subset [/mm] V die kanonische Isomorphie [mm] \bruch{V}{W} \cong W^{\perp}.
[/mm]
So bei dem versteh ich zwei Dinge nicht so. Einmal [mm] \bruch{V}{W}. [/mm] Ist damit der Quotientenraum gemeint? Also V/W ? Und die andere Sache, was heißt kanonische Isomorphie? dazu habe ich nichts gefunden.
5. Def.
Ein Endomorphismus, V ein e. oder u. VR, f: V [mm] \to [/mm] V heißt Isometrie, wenn <v,w>=<f(v),f(w)> für alle v,w [mm] \in [/mm] V gilt. Ist V ein [mm] \IR [/mm] - VR, so nennt man f auch orthogonal. Ist V ein [mm] \IC [/mm] - VR, so nennt man f auch unitär.
So ich weiß nicht, ob ich das mit Isometrie so richtig verstanden habe, heißt das eigentlich nur, dass z.B. f(v) und v die gleiche Länge haben?
Und was hat das genau mit Orthogonalität bzw. mit unitär zu tun?
So, weiß sind jetzt doch ein paar Fragen geworden, würde mich trotzdem freuen, wenn mir jemand die Sachen näher erläutern könnte.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
Hallo
>ich habe z.z. noch bisschen probleme mit dem
> verständnis von einigen sätzen. wäre super, wenn die mir
> jemand bisschen näher erläutern könnte.
Ja zumindest bei ein paar Antworten.
> 1.
> wir haben das skalarprodukt <f,g>=
> [mm](\bruch{1}{\pi})\integral_{0}^{2 \pi}{f(t)*g(t) dt}.[/mm]
>
> so dann haben wir rausbekommen, dass <sin(kx),sin(kx)>=1
> ist bzgl. dieses Skalarprodukts .
> d.h. [mm]\parallel[/mm] sin(kx) [mm]\parallel[/mm] = 1 und außerdem ist
> <sin(x),sin(kx)>=0
>
> Also ist {sin(x), sin(2x),...} eine orthogonale Familie von
> Vek. bzgl. des oben genannten Skalarprodukts (ONB).
>
> So meine Frage, dies gilt aber nicht für jedes
> Skalarpordukt oder? Also {sin(x), sin(2x),...} ist nicht
> bzgl. jedes Sklarprodukt eine ONB?
Korrekt.
> 3. Es gilt ja, dass jeder endlichdimensionaler VR immer
> eine ONB besitzt, jedoch ist dies bei unendlichdim. VR
> nicht immer der Fall.
>
> So meine Frage, jedoch bilden in [mm]\IR^n[/mm] die Einheitsvektoren
> doch auch immer eine ONB oder?
Das ist korrekt. Der [mm] $\IR^n$ [/mm] ist aber stets endlichdimensional!! Nehme Funktionenräume, z.B. [mm] $L^2(\Omega), H_k(\Omega)$ [/mm] für [mm] $Omegasubset\IR^n$. [/mm] Diese sind unendlichdimensional!! Und eine Orthonormalbasis erhält man aus dem Spektralsatz der Funktionalanalysis.
Habe leider keine Zeit mehr
> Gruß
Gruß
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Vielen dank erstmal, vielleicht können die anderen ja auch noch weiter helfen.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 So 11.05.2008 | | Autor: | SEcki |
> 2. Satz:
> Sei (v,s) ein e. oder u. VR. Ist [mm]B=(b_1,...,b_n)[/mm] eine ONB
> bzgl. s, so gilt:
>
> [mm]M_B^B(s)=[/mm] E.
Was ist denn M hier? Die darstellende Matrix des Skalarproduktes s?
> So hier meine Frage. Gilt das bzgl. jedes Sklarprodukts,
> dass [mm]M_B^B(s)=[/mm] E ist, oder ist das nur bzgl. des
> Standardskalarprodukts möglich?
Ich sehe weit und breit kein Standardskalarprodukts. Falls es die darstellende Matrix ist - so gilt das natürlich nur für das das entsprechende SKP.
> 3. Es gilt ja, dass jeder endlichdimensionaler VR immer
> eine ONB besitzt, jedoch ist dies bei unendlichdim. VR
> nicht immer der Fall.
>
> So meine Frage, jedoch bilden in [mm]\IR^n[/mm] die Einheitsvektoren
> doch auch immer eine ONB oder?
Was sind deine Einheitsvektoren? Meinst du die [m](1,0,...),(0,1,0,...)[/m]? Die bilden natürlich nicht immer eine ONB.
>
>
> 4. Satz:
> Sei V ein n-dim e. oder u. VR. Dann gilt für UVR U [mm]\subset[/mm]
> V die kanonische Isomorphie [mm]\bruch{V}{W} \cong W^{\perp}.[/mm]
>
> So bei dem versteh ich zwei Dinge nicht so. Einmal
> [mm]\bruch{V}{W}.[/mm] Ist damit der Quotientenraum gemeint? Also
> V/W ?
Nehm ich mal an - wo hast du das her?
> Und die andere Sache, was heißt kanonische
> Isomorphie? dazu habe ich nichts gefunden.
kanonisch heißt hier wohl: [m]W^\perp \to W/V, w\mapsto [w][/m]. Und dies ist ein Iso.
> So ich weiß nicht, ob ich das mit Isometrie so richtig
> verstanden habe, heißt das eigentlich nur, dass z.B. f(v)
> und v die gleiche Länge haben?
Nein, auch die Winkel zwischen Vektoren.
> Und was hat das genau mit Orthogonalität bzw. mit unitär zu
> tun?
Hm? Also so eine Abbildung erhält das Skalarprodukt.
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:32 So 11.05.2008 | | Autor: | jaruleking |
> Was ist denn M hier? Die darstellende Matrix des Skalarproduktes s?
korrekt, habe vergessen, dass Skalarprodukt dort mit anzugeben. denn in unserem Skript steht bezüglich [mm] s(v,w)=v_B^t \overline{w_B}
[/mm]
Meine Frage war ja, ist jede Matrix, die aus ONB besteht und die man bzgl. irgendein Skalarprodukt aufstellt die Einheitsmatrix???
> Was sind deine Einheitsvektoren? Meinst du die $ (1,0,...),(0,1,0,...) $? Die > bilden natürlich nicht immer eine ONB.
Hier auch korrekt, aber warum bilden die nicht immer eine ONB? die sind doch immer linear unabhängig, stehen senkrecht aufeinander und haben die länge 1. also wieso nicht immer?
Und den ganz letzten Punkt habe ich immer noch nicht so verstanden.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> > Was sind deine Einheitsvektoren? Meinst du die
> [mm](1,0,...),(0,1,0,...) [/mm]? Die > bilden natürlich nicht immer
> eine ONB.
>
> Hier auch korrekt, aber warum bilden die nicht immer eine
> ONB? die sind doch immer linear unabhängig, stehen
> senkrecht aufeinander und haben die länge 1. also wieso
> nicht immer?
bezüglich des skaraproduktes definiert durch [mm] $\left [/mm] = [mm] x^t \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right) [/mm] y$ bilden die vektoren [mm] $e_1 [/mm] = (1, [mm] 0)^t$ [/mm] und [mm] $e_2 [/mm] = [mm] (0,1)^t$ [/mm] keine orthonormalbasis (nachrechnen).
grüße
andreas
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hi, ja ok, dann heißt es, dass die Einheitsvektoren bzgl. des Standardskalarprodukt immer eine ONB bilden, aber nicht bzgl. jedes Sklarprodukt, wie dein Bsp. schon zeigt.
Ich habe aber immer noch die Sache mit der Isometrie noch nicht so verstanden, kann mir da vielleicht jemand Licht in Schatten werfen?
5. Def.
Ein Endomorphismus, V ein e. oder u. VR, f: V $ [mm] \to [/mm] $ V heißt Isometrie, wenn <v,w>=<f(v),f(w)> für alle v,w $ [mm] \in [/mm] $ V gilt. Ist V ein $ [mm] \IR [/mm] $ - VR, so nennt man f auch orthogonal. Ist V ein $ [mm] \IC [/mm] $ - VR, so nennt man f auch unitär.
Also wie Secki gesagt hat, bedeutet Isometrie nur, dass hier z.B. <v,w>=<f(v),f(w)> die Längen und Winkel gleich sind, mehr nicht?
Aber was hat das wie gesagt mit orthogonal und unitär zu tun? Unter Orthogonal versteh ich ja was, wo das Skalarprodukt null ergibt, so dass Vektoren senkrecht aufeinander stehen, aber das ist doch hier gar nicht der Fall oder?
So und dann habe wir auch noch zwei Bsp.
f(x)=A*x ist orthogonal, da normerhaltend mit [mm] A=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -sin(x) & cos(x) }
[/mm]
dann das zweite Bsp.
[mm] B=\pmat{ A & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und g(x)=B*x ist eine Drehnung um die z-Achse.
Also wie gesagt, dass mit der Isometrie habe ich noch nicht so verstanden, und diese Bsp. die dort gebracht wurden, die kann ich auch irgendwie nicht verwerten. Wäre deswegen sehr nett, wenn mir jemand das mit Isometrie erklären könnte und was halt das besondere daran so ist.
Und zuletzt noch zwei Fragen. Woran erkennt bei Matrizen sofort, dass es sich um eine Spiegelung oder um eine Drehnung handelt??? Und was haben diese Matrizen für besondere Eigenschaften? Gibts eigentlich Matrizen, die sowohl eine Spiegelung als auch Drehnung darstellen?
Danke für Erklärungen.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> hi, ja ok, dann heißt es, dass die Einheitsvektoren bzgl.
> des Standardskalarprodukt immer eine ONB bilden, aber nicht
> bzgl. jedes Sklarprodukt, wie dein Bsp. schon zeigt.
>
> Ich habe aber immer noch die Sache mit der Isometrie noch
> nicht so verstanden, kann mir da vielleicht jemand Licht in
> Schatten werfen?
>
> 5. Def.
> Ein Endomorphismus, V ein e. oder u. VR, f: V [mm]\to[/mm] V heißt
> Isometrie, wenn <v,w>=<f(v),f(w)> für alle v,w [mm]\in[/mm] V gilt.
> Ist V ein [mm]\IR[/mm] - VR, so nennt man f auch orthogonal. Ist V
> ein [mm]\IC[/mm] - VR, so nennt man f auch unitär.
>
> Also wie Secki gesagt hat, bedeutet Isometrie nur, dass
> hier z.B. <v,w>=<f(v),f(w)> die Längen und Winkel gleich
> sind, mehr nicht?
>
> Aber was hat das wie gesagt mit orthogonal und unitär zu
> tun? Unter Orthogonal versteh ich ja was, wo das
> Skalarprodukt null ergibt, so dass Vektoren senkrecht
> aufeinander stehen, aber das ist doch hier gar nicht der
> Fall oder?
>
Eine Isometrie ist allg. eine Abbildung von einem metrischen Raum in einen anderen, bei der die Abstände erhalten werden.
In deinem konkreten Fall, wo man also einen VR mit Skalarprodukt hat, ist dein f in der obigen Definition eine Isometrie, da f das Skalarprodukt erhält (und weil dieses Skalarprodukt eine Norm und damit auch eine Metrik induziert, erhält f auch die Norm und die Metrik).
Nun zu den Bezeichnungen 'orthogonal' und 'unitär'. Man kann im endlichdimensionalen Fall ja f durch eine Matrix darstellen (also [mm] f=f_A [/mm] mit der darstellenden Matrix A). Wenn f orthogonal ist, dann gilt: [mm] A*A^T=E [/mm] (E ist die Einheitsmatrix), bzw. wenn f unitär ist, dann: [mm] A*\overline{A^T}=E [/mm] (hier muss man noch das komplex konjugierte nehmen). Und die Bezeichnung kommt davon, dass wenn du diese Matrixmultiplikation ausschreibst, dann sieht es so aus, wie das Standartskalarprodukt im [mm] \IR^n [/mm] bzw. [mm] \IC^n, [/mm] d.h. die Zeilen der Matrix A stehen senkrecht aufeinander, sind also orthogonal.
> So und dann habe wir auch noch zwei Bsp.
>
> f(x)=A*x ist orthogonal, da normerhaltend mit [mm]A=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -sin(x) & cos(x) }[/mm]
>
Hierbei ist A eine Drehung um den Koordinatenursprung mit Drehwinkel x. Anschaulich ist klar, dass hierbei die Winkel und Abstände erhalten werden.
Mathematisch korrekt kannst du das zeigen, indem du einfach [mm] A*A^T [/mm] ausrechnest (es wird E rauskommen).
> dann das zweite Bsp.
>
> [mm]B=\pmat{ A & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] und g(x)=B*x ist eine Drehnung um
> die z-Achse.
>
Fast das gleiche, nur im dreidimensionalen Fall. Hierbei wird um die z-Achse gedreht.
Auch hier ist [mm] B*B^T=E.
[/mm]
> Also wie gesagt, dass mit der Isometrie habe ich noch nicht
> so verstanden, und diese Bsp. die dort gebracht wurden, die
> kann ich auch irgendwie nicht verwerten. Wäre deswegen sehr
> nett, wenn mir jemand das mit Isometrie erklären könnte und
> was halt das besondere daran so ist.
>
>
> Und zuletzt noch zwei Fragen. Woran erkennt bei Matrizen
> sofort, dass es sich um eine Spiegelung oder um eine
> Drehnung handelt??? Und was haben diese Matrizen für
> besondere Eigenschaften? Gibts eigentlich Matrizen, die
> sowohl eine Spiegelung als auch Drehnung darstellen?
>
Alle diese Matrizen bilden Gruppen. Mit O(n) bezeichnet man die Gruppe der Matrizen, die Drehungen und Spiegelungen im [mm] \IR^n [/mm] darstellen. Mit SO(n) nur die der Drehungen, ist also eine Untergruppe von O(n). Desweiteren gilt, da ja die Matrizen die Norm erhalten, dass ihre Determinante vom Betrag her 1 ist. Matrizen, die eine Spiegelung und eine Drehung zusammen sind, gibt es auch, du brauchst einfach nur eine Drehmatrix und eine Spiegelungsmatrix miteinander multiplizieren (da sie ja eine Gruppe bilden).
Alles weitere kriegste in der Vorlesung gesagt, bzw. wenn du es schon jetzt wissen willst, dann schau einfach in der Wikipedia unter 'orthogonale Matrix', 'orthogonale Gruppe', etc. .
> Danke für Erklärungen.
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mo 12.05.2008 | | Autor: | jaruleking |
Vielen dank für die super Erklärung, da ist jetzt schon mal einiges klarer geworden.
gruß
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