Verständnisfragen Diagona.... < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:05 Mo 24.05.2010 | | Autor: | DavidC |
| Aufgabe | a) Sei A € R 3mal3. A habe mindestens einen komplexen Eigenwert. ISt A diagonalisierbar?
b) Sei A€ R n mal n . Ein EIgenwert sei Lambda, und es gibt zwei zu diesem EIgenwert gehörige linear unabhängige Eigenvektoren v1, v2 . Ist eine beliebige Linearkombination von v1, v2 wieder ein Eigenvektor zum EIgenwert Lambda ?
c) Sei A € R n mal n . Alle Eigenwerte von A seien ungleich 0. Ist das Gleichungssystem Ax=b für beliebiges b € R hoch n eindeutig lösbar ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hey leute ich saß eine Weile an diesen Fragen,doch leider bin ich nicht zu einer endgültigen Antwort gekommen. Ich bin leider nicht der hellste in Mathe
Meine Resultate zu den Verständnisfragen lautet wie folgt:
a) - ich würde sagen ja . Besitzt A mindestens einen komplexen Eigenwert, so ist A diagonalisierbar, da man bei diesem komplexen Eigenwert die imaginäre so frei wählen kann, dass man die Bedingungen der Diagonalisierbarkeit erfüllen kann .
b) Ja, man bekommt durch Linearkombination von v1 , v2 wieder ein Eigenvektor zum Eigenwert LAmbda. Da Linearkombination ursprünglich ausgehend von Lambda und ihrer Eigenvektoren stammt, führt die Linearkombination von v1, v2 zurück auf einen Eigenvektor zum Eigenwert Lambda. ( wahrscheinlich mit einer VIelfachheit von Lambda)
c) ich denke ja .., aber leider weiß ich nicht genau, wie ich es erklären kann.
SInd meine ANtworten richtig ? , WEnn ja , sind diese dann auch ausreichend ?
Wie ihr sehen könnt sitze ich mitten in der Nacht und beschäftige mich immer noch mit Mathematik.
David
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> a) Sei A € R 3mal3. A habe mindestens einen komplexen
> Eigenwert. ISt A diagonalisierbar?
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> b) Sei A€ R n mal n . Ein EIgenwert sei Lambda, und es
> gibt zwei zu diesem EIgenwert gehörige linear unabhängige
> Eigenvektoren v1, v2 . Ist eine beliebige Linearkombination
> von v1, v2 wieder ein Eigenvektor zum EIgenwert Lambda ?
>
> c) Sei A € R n mal n . Alle Eigenwerte von A seien
> ungleich 0. Ist das Gleichungssystem Ax=b für beliebiges b
> € R hoch n eindeutig lösbar ?
> Meine Resultate zu den Verständnisfragen lautet wie
> folgt:
>
> a) - ich würde sagen ja . Besitzt A mindestens einen
> komplexen Eigenwert, so ist A diagonalisierbar, da man bei
> diesem komplexen Eigenwert die imaginäre so frei wählen
> kann, dass man die Bedingungen der Diagonalisierbarkeit
> erfüllen kann .
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich verstehe nicht, was Du meinst.
Welche Sätze verwendest Du? Auf welche Eigenschaften der Diagonalisierbarkeit berufst Du Dich?
Es geht um Diagonalisierbarkeit über [mm] \IR?
[/mm]
Mal angenommen, A wäre diagonalisierbar. Wie würde die Diagonalmatrix aussehen?
Wie das zugehörige charakteristische Polynom?
Wie sieht das charakteristische Polynom aus, wenn es einen echt komplexen Eigenwert gibtß
>
> b) Ja, man bekommt durch Linearkombination von v1 , v2
> wieder ein Eigenvektor zum Eigenwert LAmbda. Da
> Linearkombination ursprünglich ausgehend von Lambda und
> ihrer Eigenvektoren stammt, führt die Linearkombination
> von v1, v2 zurück auf einen Eigenvektor zum Eigenwert
> Lambda. ( wahrscheinlich mit einer VIelfachheit von Lambda)
Zunächst einmal ist zu bedenken, daß auch [mm] 0*v_1+0*v_2 [/mm] eine Linearkombination von [mm] v_1, v_2 [/mm] ist.
Ist dies ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda?
[/mm]
"Führt zurück" ist Gelaber.
Rechne vor, was Du meinst: [mm] r,s\in \IR.
[/mm]
[mm] A(rv_1+sv_2)= [/mm] ... = [mm] \lambda(rv_1+sv_2).
[/mm]
Eigenvektoren haben übrigens keine Vielfachheit.
Eigenwerte haben eine (algebraische und geometrische) Vielfachheit.
>
> c) ich denke ja .., aber leider weiß ich nicht genau, wie
> ich es erklären kann.
Dann solltest Du zumindest vage die Richtung vorgeben, in welche Du denkst.
So, wie es jetzt dasteht, ist es geraten.
Unter welchen Umstanden ist denn Ax=b eindeutig lösbar?
Was weißt Du über den Kern der Matrix, wenn kein Eigenwert =0 ist?
(Welche Dimension hätte Kern A= Kern(A-0*E), wenn 0 Eigenwert wäre?)
Gruß v. Angela
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