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huhu,
da ja noch ferien sind, dachte ich mir ich arbeite ein paar sachen nach, da unser prof krank war und wir jetzt einen Neuen haben und zwischendurch wir uns alles selber beibringen sollten.
sry falls es zu viele sachen sind, gerne auch einzelne Antworten ;)
1) Kern einer Matrix <=> Basis einer Matrix <=> Bild einer Matrix:
Also der Kern einer Matrix ist/sind ja die Vektoren, die man mit dem homogenen Gleichunggsystem ausrechnet oder? die dann auch mit Variablen bestückt sein können. Der Kern KANN auch die Basis sein oder?
wenn man aus dem span die abhängigen vektoren streicht
Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen basis
Bild? bei ner basis bildet man ja auch A [mm] \* [/mm] c = 0 und wenn dort ´für die Variablen c nur die Lösung 0 rauskommen kann, sind es ja lin. unabhängige Vektoren sprich die Basis.
Bei dem Bild der Matrix guckt man sich die Matrix ja spaltenweise an, und wenn die Spalten lin. unabhängig sind, sind diese dann automatisch das Bild der Matrix oder?
Daher würd ich sagen dass das Bild einer matrix = die basis ist.
beispielsweise:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] wäre das bild ja die spaltenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 4}
[/mm]
Der Kern wäre nur der Nullvektor.
Die Basis wäre wie das bild aus den zwei vektoren.
2) Was versteht man unter Standardbasis, Standardvektorraum und Standardvektoren?
Sind das immer angegebene Sachen mit denen man startet?
3) Lineare Abbildungen die bijektiv sind (ja doppel gemoppelt), ist bei denen der Kern, wenn man die abbildung als matrix darstellt, immer der Nullvektor?
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> 1) Kern einer Matrix <=> Basis einer Matrix <=> Bild einer
> Matrix:
Hallo,
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> Also der Kern einer Matrix ist/sind ja die Vektoren, die
> man mit dem homogenen Gleichunggsystem ausrechnet oder?
Wenn A eine Matrix ist, dann ist KernA die Menge, die all die Vektoren x enthält, für welche gilt Ax=0,
also die Lösungsmenge des homogenen LGS, dessen Koeffizientenmatrix A ist.
Man kann zeigen, daß Kern A ein (Unter)Vektorraum ist, und deshalb ist es sinnvoll, KernA anzugeben, indem man seine Basis sagt.
> die
> dann auch mit Variablen bestückt sein können.
???
> Der Kern
> KANN auch die Basis sein oder?
s.o.
Der Kern von A besteht aus allen Lösungen von Ax=0.
Man gibt ihn i.a. an, indem man eine Basis sagt.
> wenn man aus dem span die abhängigen vektoren streicht
Hm. Ich glaube, Du verwendest den Begriff "Span" falsch.
Wenn man aus einem Erzeugendensystem so viele vektoren wegnimmt, daß eine maximale linear unabhängige Menge übrigbleibt, hat man eine Basis des erzeugten Raumes (=Span) gefunden.
>
> Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen basis
> Bild?
Natürlich.
Das Bild einer Matrix enthält all jene Vektoren, die man als "Ergebnis von Ax" bekommen kann. Man kann nachrechnen, daß es sich um einen vektorraum handelt. Wie jeder andere vektorraum hat auch Bild A eine Basis. Die Basis von Bild A ist eine Teilmenge von Bild A.
> bei ner basis bildet man ja auch A [mm]\*[/mm] c = 0 und wenn
> dort ´für die Variablen c nur die Lösung 0 rauskommen
> kann, sind es ja lin. unabhängige Vektoren sprich die
> Basis.
???
> Bei dem Bild der Matrix guckt man sich die Matrix ja
> spaltenweise an, und wenn die Spalten lin. unabhängig
> sind, sind diese dann automatisch das Bild der Matrix
> oder?
Wenn die Spalten linear unabhängig sind, sind sie eine Basis des Bildes.
> Daher würd ich sagen dass das Bild einer matrix = die
> basis ist.
Nein.
>
> beispielsweise:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }[/mm] wäre das bild ja die
> spaltenvektoren [mm]\vektor{1 \\
3}[/mm] und [mm]\vektor{2 \\
4}[/mm].
Nein. Es ist das Bild Deiner Matrix der von den beiden Vektoren aufgespannte Raum.
[mm] Bild$\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }$=<$\vektor{1 \\ 3}$,$\vektor{2 \\ 4}$>.
[/mm]
Die spitzen Klammern stehen für den Span.
Die beiden Vektoren sind eine Basis des Bildes, denn sie sind ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
> Der
> Kern wäre nur der Nullvektor.
Ja, genau.
> Die Basis wäre wie das bild aus den zwei vektoren.
Hm? Die Basis des Nullraumes ist die leere Menge - sinniere hierüber im Moment nicht allzuviel nach.
Ich glaube, ich sollte eines noch deutlich sagen: eine Matrix hat keine Basis!
Es hat der Kern einer Matrix eine Basis.
Es hat das Bild einer Matrix eine Basis.
Es hat der Raum der Matrizen eine Basis.
Eine Matrix hat keine Basis.
Gruß v. Angela
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> 2) Was versteht man unter Standardbasis, Standardvektorraum
> und Standardvektoren?
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> Sind das immer angegebene Sachen mit denen man startet?
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> 3) Lineare Abbildungen die bijektiv sind (ja doppel
> gemoppelt), ist bei denen der Kern, wenn man die abbildung
> als matrix darstellt, immer der Nullvektor?
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