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Ich habe ein Verständnisproblem was das entwickeln einer Laurentreihe angeht.
Sagen wir ich habe eine Funktion
[mm] \frac{1}{(z-3)(z-6)}
[/mm]
- Zuerst mache ich eine Partialbruch zerlegung, führe die beiden Summanden auf die Geometrische Reihe zurück und entwickele Sie beie seperat.
Und jetzt kommt mein Verständnisproblem
Diese Funktion hat ja 3 Laurentreihen, wenn ich jetzt die haben möchte, die auf dem Kreisring 3<z<6 konvergiert ...
...wie genau gehe ich jetzt mit den Summanden vor, wie finde ich jetzt diese Reihe aus meinen Summanden die in eben diesem Kreisring konvergiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Do 10.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Dann mach doch das
"Zuerst mache ich eine Partialbruch zerlegung, führe die beiden Summanden auf die Geometrische Reihe zurück und entwickele Sie beie seperat. "
mal !
Wenn Du es richtig machst, konvergiert der Haupteil der Laurentreihe für 3<|z| und der Nebenteil für |z|<6.
FRED
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[mm] f(z)=\frac{1}{3(z-6)} [/mm] - [mm] \frac{1}{3(z-3)}
[/mm]
Ich entwickele also um den Punkt 1:
[mm] \frac{1}{3(z-6)} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}*\frac{1}{-5+(z-1)} [/mm] = [mm] -\frac{1}{15} [/mm] * [mm] \frac{1}{1-\frac{z-1}{5}} [/mm] = [mm] -\frac{1}{15} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 5^{-n}*(z-1)^n
[/mm]
Analog den Zweiten Summanden:
[mm] -\frac{1}{3(z-3)} [/mm] = [mm] \frac{1}{6} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty}2^{-n}*(z-1)^n
[/mm]
Und jetzt haben wir leider keine Hauptteile und irgendwie bin ich aufgeschmissen wie ich die Jetzt für die Konvergenz im Kreisring zusammensetzen soll. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Do 10.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Wieso entwickelst Du um den Punkt 1 ???????????????????????????????
Das Du dabei keinen Hauptteil bekommst , ist nicht verwunderlich, denn die Funktion ist in einer Umgebung von 1 holomorph.
Entwickle
$ [mm] \frac{1}{3(z-6)} [/mm] $
in eine geometrische Reihe, die Reihenglieder sind von der Form [mm] (z/6)^n.
[/mm]
Das liefert Dir den Nebenteil.
Bei
$ [mm] \frac{1}{3(z-3)} [/mm] $
klammerst Du im Nenner z aus, dann entwickelst Du das in eine geometrische Reihe, deren Reihenglieder von der Form [mm] (3/z)^n [/mm] sind. So bekommst Du den Hauptteil.
FRED
P.S.: hast Du meinen Beitrag in
https://matheraum.de/read?t=427386
gelesen ? Ich hoffe die Verwirrung über "Pol", "hebbare Sing.", ist damit beseitigt.
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Nun ja, die Aufgabenstellung lautet:
Entwickeln Sie die Funktion in eine Laurentreihe um 1 die in dem besagten Kreisring konvergiert.
Den Anderen Beitrag habe ich gelesen, danke ist jetzt ein bisschen Klarer! Vielen Dank für deine ganze Mühe...hab schon soo viel von dir gelernt!!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Do 10.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie ich schon sagte: die Funktion ist in 1 holomorph. 1 ist also keine isolierte Singularität. Die Potenzreihenentwicklung um 1 hast Du oben gemacht.
Ich dachte Du sollst die Funktion im Kreisring 3<|z|<6 in eine Laurentreihe entwickeln? Wie lautet Deine Aufgabenstellung genau ?
FRED
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Aufgabe:
Entwicklen Sie
f(z) = [mm] \frac{1}{(z-3)(z-6)}
[/mm]
in eine Laurentreihe um den Punkt [mm] z_{0} [/mm] = 1, die in a konvergiert für
a=4+i
Mein Ansatz waren die Laurentreihen der Summanden der Partialbruchzerlegung, und weil [mm] |4+i|=\sqrt(17)=4.16.... [/mm] gehts offenbar um den kreisring 3<z<6.
Vielleicht fehlen noch ein paar Entwicklungen der Summanden der PBZ, da die Geometrische reihe [mm] \frac{1}{1-z} [/mm] nur definiert ist wenn z<1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Do 10.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Nochmal: deine Funktion ist in 1 holomorph, also hat sie in einer Umgebung von 1 eine Potenzreihenentwicklung.
FRED
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