Verständnisproblem < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallihallo,
ich sitze gerade mal wieder an meinem Buch mit Lösungen und versuche einige Beweise nachzuvollziehen. Dabei komme ich an einer Stelle nicht weiter.
Die Aufgabe lautet: Jede Folge reeller Zahlen enthält eine monotone (wachsende oder fallende) Teilfolge.
Zur Lösung im Buch steht:
1) Die Folge [mm] (a_n) [/mm] n∈N sei unbeschränkt, etwa unbeschränkt nach oben. Dann kann eine monoton wachsende Teilfolge [mm] (a_n_k) [/mm] k∈N von [mm] (a_n) [/mm] n∈N wie folgt konstruiert werden: Wir setzen [mm] n_0 [/mm] := 0. Sind [mm] n_0 [/mm] < [mm] n_1 [/mm] < . . . < [mm] n_k [/mm] mit [mm] a_n_0 [/mm] ≤ [mm] a_n_1 [/mm] ≤ . . . ≤ [mm] a_n_k [/mm] schon bestimmt, so gibt es wegen der Unbeschränktheit der Folge [mm] (a_n) [/mm] n∈N ein [mm] n_{k+1} [/mm] > [mm] n_k [/mm] mit
[mm] a_n_{k+1} [/mm] ≥ [mm] a_n_k [/mm] .
Dieser Teil ist mir klar, den kann ich nachvollziehen.
2) Ist die Folge [mm] (a_n) [/mm] n∈N beschränkt, so besitzt sie nach dem Satz von Bolzano–Weierstraß eine Teilfolge [mm] (a_n_k) [/mm] k∈N von [mm] (a_n) [/mm] n∈N, die gegen eine reelle Zahl a konvergiert. Falls für unendlich viele n ∈ N gilt [mm] a_n [/mm] = a, gibt es eine konstante, also monotone Teilfolge, die gegen a konvergiert. Andernfalls gibt es ein [mm] N_0 [/mm] ∈ N, so dass [mm] a_n \not= [/mm] a für alle n ≥ [mm] N_0.
[/mm]
Ich verstehe nicht, warum das für [mm] a_n [/mm] = a und für [mm] a_n \not= [/mm] a gilt.
Die Folge [mm] (b_N_0 ,b_{N_0}_{+1}, [/mm] . . .), definiert durch
bn := [mm] \bruch{1}{a_n - a}, [/mm] n ≥ [mm] N_0,
[/mm]
ist unbeschränkt, besitzt also nach Teil 1) eine monotone Teilfolge [mm] (b_n_k) [/mm] k∈N.
Nach Weglassen endlich vieler Glieder [mm] b_n_0 ,b_n_1, [/mm] . . . [mm] ,b_n_{k0}_{−1} [/mm] haben alle [mm] b_n_k [/mm] einheitliches Vorzeichen. Daraus folgt, dass die Folge [mm] (a_n_k_0, a_n_k_{0}_{+1}, [/mm] . . .),
[mm] a_n_k [/mm] = [mm] a+\bruch{1}{b_n_k}, [/mm] k ≥ [mm] k_0, [/mm] ebenfalls monoton ist. Da die Folge [mm] (a_n_k_0, a_n_{k0}_{+1}, [/mm] . . .) nach Konstruktion eine Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] n∈N ist, ist die Behauptung bewiesen.
Wie kommt man auf die Definition von [mm] b_n [/mm] und von [mm] a_n_k??? [/mm] So wie ich verstanden habe, lässt man endlich viele Glieder [mm] b_n [/mm] weg, damit die Formel für [mm] a_n_k [/mm] erfüllt ist, aber warum kann man das machen?
Wodurch ist jetzt gezeigt, dass die Folge monoton ist?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe. Ich möchte die Lösung gerne nachvollziehen können und freue mich über jede Idee.
Gruß,
Friekeline
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Fr 19.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Was Du geschrieben hast habe ich nicht gelesen, denn es gibt einen sehr kurzen Beweis für die Beh.
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IR.
[/mm]
Eine natürliche Zahl m nennen wir "niedrig" für [mm] (a_n) [/mm] : [mm] \gdw a_n \ge a_m [/mm] für n [mm] \ge [/mm] m.
Fall 1: es gibt unendlich viele niedrige Indices für [mm] (a_n) [/mm] etwa [mm] n_1, n_2, n_3, [/mm] ....
Wir können [mm] n_1
Fall 2: es gibt höchstens endlich viele niedrige Indices. Also ex. ein q [mm] \in \IN [/mm] mit:
kein Element von M:= { q, q+1,q+2, ... } ist niedrig.
[mm] n_1:= [/mm] q. [mm] n_1 [/mm] ist nicht niedrig, also ex ein [mm] n_2 [/mm] aus M mit [mm] n_2> n_1 [/mm] und [mm] a_{n_2}< a_{n_1}
[/mm]
[mm] n_2 [/mm] ist nicht niedrig, also ex ein [mm] n_3 [/mm] aus M mit [mm] n_3> n_2 [/mm] und [mm] a_{n_3}< a_{n_2}
[/mm]
Etc .... . So erhälst Du eine fallende Teilfolge [mm] (a_{n_k})
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
ich habe mir deinen Beweis angeschaut und der ist wirklich kurz, allerdings habe ich keine Ahnung, was das mit den Indizes (index kenne ich schon aber halt nicht so im Beweis, wie du es dort machst....) Ich habe mir das aber gedruckt und werde es wohl nachvollziehen können, wenn wir das in der Vorlesung haben (ich denke das wird wohl auh noch mal dran kommen). Also vielen lieben Dank dafür!
Ich habe bei mir inzwischen im Buch weitergelesen und habe die meisten Fragen schon klären können, aber ich habe noch zwei übrig, die ich einfach nicht auf die Reihe bekomme; hier der entsprechende Abschnitt:
Nach Weglassen endlich vieler Glieder $ [mm] b_n_0 ,b_n_1, [/mm] $ . . . $ [mm] ,b_n_{k0}_{−1} [/mm] $ haben alle $ [mm] b_n_k [/mm] $ einheitliches Vorzeichen. Daraus
wieso haben wir da ein einheitliches Vorzeichen? Warum nicht vorher schon?
folgt, dass die Folge $ [mm] (a_n_k_0, a_n_k_{0}_{+1}, [/mm] $ . . .),
$ [mm] a_n_k [/mm] $ = $ [mm] a+\bruch{1}{b_n_k}, [/mm] $ k ≥ $ [mm] k_0, [/mm] $ ebenfalls monoton ist.
Wieso ist diese Teilfolge [mm] a_n_k [/mm] nun auch monoton? Dass [mm] \bruch{1}{b_n_k} [/mm] monoton ist, wurde ja in den zeilen darüber schon gezeicht, aber a ist ja der Grenzwert, gegen den die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert. Wieso addiert man den dazu und warum bleibt/wird die Folge dann monoton?
Da die Folge $ [mm] (a_n_k_0, a_n_{k0}_{+1}, [/mm] $ . . .) nach Konstruktion eine Teilfolge von $ [mm] (a_n) [/mm] $ n∈N ist, ist die Behauptung bewiesen.
Ich danke euch sehr, ihr seid mir eine große Hilfe
Liebe Grüße
friekeline
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> Ich habe bei mir inzwischen im Buch weitergelesen und habe
> die meisten Fragen schon klären können, aber ich habe
> noch zwei übrig, die ich einfach nicht auf die Reihe
> bekomme; hier der entsprechende Abschnitt:
>
> Nach Weglassen endlich vieler Glieder [mm] $b_n_0 ,b_n_1,$ [/mm] . . .
> [mm] $,b_n_{k0}_{−1}$ [/mm] haben alle [mm] $b_n_k$ [/mm] einheitliches Vorzeichen.
> Daraus
> wieso haben wir da ein einheitliches Vorzeichen? Warum
> nicht vorher schon?
> folgt, dass die Folge [mm] $(a_n_k_0, a_n_k_{0}_{+1},$ [/mm] . . .),
> [mm] $a_n_k$ [/mm] = [mm] $a+\bruch{1}{b_n_k},$ [/mm] k ≥ [mm] $k_0,$ [/mm] ebenfalls monoton
> ist.
> Wieso ist diese Teilfolge [mm] $a_n_k$ [/mm] nun auch monoton? Dass
> [mm] $\bruch{1}{b_n_k}$ [/mm] monoton ist, wurde ja in den zeilen
> darüber schon gezeicht, aber a ist ja der Grenzwert,
> gegen den die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergiert. Wieso addiert man
> den dazu und warum bleibt/wird die Folge dann monoton?
> Da die Folge [mm] $(a_n_k_0, a_n_{k0}_{+1},$ [/mm] . . .) nach
> Konstruktion eine Teilfolge von [mm] $(a_n)$ [/mm] n∈N ist, ist die
> Behauptung bewiesen.
Hallo,
> Die Aufgabe lautet: Jede Folge reeller Zahlen enthält eine
> monotone (wachsende oder fallende) Teilfolge.
>
> Zur Lösung im Buch steht:
>
> 1) Die Folge [mm](a_n)[/mm] n∈N sei unbeschränkt, etwa
> unbeschränkt nach oben. Dann kann eine monoton wachsende
> Teilfolge [mm](a_n_k)[/mm] [...]
> konstruiert werden[...]
>
>
> 2) Ist die Folge [mm](a_n)[/mm] n∈N beschränkt, so besitzt sie
> nach dem Satz von Bolzano–Weierstraß eine Teilfolge
> [mm](a_n_k)[/mm] k∈N von [mm](a_n)[/mm] n∈N, die gegen eine reelle Zahl a
> konvergiert. Falls für unendlich viele n ∈ N gilt [mm]a_n[/mm] =
> a, gibt es eine konstante, also monotone Teilfolge, die
> gegen a konvergiert. Andernfalls gibt es ein [mm]N_0[/mm] ∈ N, so
> dass [mm]a_n \not=[/mm] a für alle n ≥ [mm]N_0.[/mm]
>
>
> Die Folge [mm](b_N_0 ,b_{N_0}_{+1},[/mm] . . .), definiert durch
> [mm] b_n [/mm] := [mm]\bruch{1}{a_n - a},[/mm] n ≥ [mm]N_0,[/mm]
> ist unbeschränkt, besitzt also nach Teil 1) eine monotone
> Teilfolge [mm](b_n_k)[/mm] k∈N.
Diese Teilfolge ist monoton wachsend oder monoton fallend.
> Nach Weglassen endlich vieler Glieder [mm]b_n_0 ,b_n_1,[/mm] . . .
> [mm],b_n_{k0}_{−1}[/mm] haben alle [mm]b_n_k[/mm] einheitliches Vorzeichen.
Nehmen wir eine monoton wachsende Folge.
Es könnten alle Folgenglieder positiv oder alle negativ sein. Dann machen wir nichts, denn alle haben dasselbe Vorzeichen.
Oder die Folge kommt aus dem Positiven und geht ins Negative - ach nee, das kann ja gar nicht sein.
Sein kann es, daß die Folge negativ beginnt und dann positiv wird.
Da sie monoton ist, können dann nur endlich viele Glieder negetiv sein, und die lassen wir einfach weg.
Für eine fallende Folge [mm] (b_{n_k}) [/mm] entsprechend.
> Daraus folgt, dass die Folge [mm](a_n_k_0, a_n_k_{0}_{+1},[/mm] . .
> .),
> [mm]a_n_k[/mm] = [mm]a+\bruch{1}{b_n_k},[/mm] k ≥ [mm]k_0,[/mm] ebenfalls monoton
> ist.
Angenommen, [mm] (\bruch{1}{b_{n_k}}) [/mm] ist monoton wachsend.
Dann ist doch [mm] a+\bruch{1}{b_{n_1}}\le a+\bruch{1}{b_{n_2}}\le a+\bruch{1}{b_{n_3}}\le [/mm] ...,
also ist die Folge [mm] (c_k) [/mm] mit [mm] c_k:=a+\bruch{1}{b_{n_k}} [/mm] monoton.
Für eine fallende Folge [mm] (b_{n_k}) [/mm] entsprechend.
Und nun stellst Du fest: für alle k ist [mm] c_k=a+\bruch{1}{b_{n_k}}=a+(a_{n_k}-a)=a_{n_k}, [/mm] also ist [mm] (c_k) [/mm] eine Teilfolge von [mm] (a_n), [/mm] und damit ist eine monotone Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] gefunden.
> [...]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 So 21.11.2010 | | Autor: | friekeline |
Hallo,
vielen Dank, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden!
Liebe Grüße und einen schönen Tag.
friekeline
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