Vert d. Abstands zum Nullpunkt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mi 22.12.2010 | | Autor: | arxi |
| Aufgabe 1 | Der Zufallsvektor [mm] \vektor{X \\ Y} [/mm] sei gleichmäßig auf dem Einheitskreis verteilt, mit der Dichte: [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{1}{\pi}, & \mbox{für } x^{2}+y^{2} \le 1 \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Man bestimme die Verteilung des Abstands [mm] Z=\wurzel{X^{2}+Y^{2}} [/mm] von [mm] \vektor{X \\ Y} [/mm] vom Nullpunkt. |
| Aufgabe 2 | | Man bestimme weiterhin die Randdichten von X und Y. |
Hallo!
Hab so zusagen ein stochastisches Problem. Die Bestimmung der Randdichten konnten wird noch berechnen.
Randdichte von x: [mm] 2\bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{\pi}
[/mm]
Randdichte von y: [mm] 2\bruch{\wurzel{1-y^{2}}}{\pi}
[/mm]
Allerdings scheitern wir beim Abstand vom Nullpunkt. Wir hätten den Ansatz, dass die Verteilung das Integral über die Dichte ist.?
Bin für jede Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo arxi,
im Papoulis habe ich eine Lösung hierfür gefunden.
Wenn die Dichte kreissymmetrisch ist, und das ist sie natürlich auch bei einer konstanten Dichte, so langt die Integration über den Abstand r und das Ganze wird noch mit 2 Pi multipliziert.
Etwas mathematischer ausgedrückt:
Wenn [mm] f(x,y) = g(r) [/mm], dann ergibt sich die Verteilung über z als
[mm] F_z (z) = 2 \pi \int_0^z r g(r) \, dr \, . [/mm]
Hoffe, das hilft weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Do 23.12.2010 | | Autor: | arxi |
Danke für die schnelle Antwort.
In unserem konkreten Beispiel würde das dann wie folgt aussehn:
[mm] F_z(z)=2 \pi \integral_{0}^{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{\bruch{r}{\pi} dr}
[/mm]
was sich dann bei uns auf folgendes ergibt:
[mm] x^{2}+y^{2}
[/mm]
sieht das so richtig aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Do 23.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo arxi,
das sieht gut aus. Als Funktion von z geschrieben
[mm] F_z(z) = z^2 \, . [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Do 23.12.2010 | | Autor: | arxi |
schönen dank!
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