Vertauschbarkeit Integrale < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Mi 30.01.2013 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Seien [mm] $I_1=I_2:=(0,1)$ [/mm] und [mm] $f:I_1\times I_2\to\mathbb{R},\;x\mapsto\frac{x_1^2-x_2^2}{|x|^4}.$ [/mm] Zeigen Sie:
a) Es gilt [mm] $(I_1\ni x_1\mapsto\int_{I_2} f(x_1,x_2)dx_2)\in\mathcal{L}^1(I_1),(I_2\ni x_2\mapsto\int_{I_2}f(x_1,x_2)dx_1)\in\mathcal{L}^1(I_2)$ [/mm] und [mm] $$\int_{I_1}\left(\int_{I_2}f(x_1,x_2)dx_2\right)dx_1\neq\int_{I_2}\left(\int_{I_1}f(x_1,x_2)dx_1\right)dx_2.$$
[/mm]
b) [mm] $f\notin\mathcal{L}^1(I_1\times I_2)$. [/mm] |
Guten Abend,
ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu bearbeiten und komme aber leider auf keinen grünen Zweig.
Bei dem Aufgabenteil mit der Ungleichheit habe ich mir überlegt einfach beide Seiten zu berechnen, jedoch weiß ich nicht, wie ich das anstellen soll, da Doppelintegral und jeweils offene Intervalle.
Würde mich sehr über Hilfe freuen.
Vielen Dank
HugATree
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Fr 01.02.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo HugATree,
> Seien [mm]I_1=I_2:=(0,1)[/mm] und [mm]f:I_1\times I_2\to\mathbb{R},\;x\mapsto\frac{x_1^2-x_2^2}{|x|^4}.[/mm]
> Zeigen Sie:
> a) Es gilt [mm]$(I_1\ni x_1\mapsto\int_{I_2} f(x_1,x_2)dx_2)\in\mathcal{L}^1(I_1),(I_2\ni x_2\mapsto\int_{I_2}f(x_1,x_2)dx_1)\in\mathcal{L}^1(I_2)$[/mm]
> und
> [mm]\int_{I_1}\left(\int_{I_2}f(x_1,x_2)dx_2\right)dx_1\neq\int_{I_2}\left(\int_{I_1}f(x_1,x_2)dx_1\right)dx_2.[/mm]
> b) [mm]f\notin\mathcal{L}^1(I_1\times I_2)[/mm].
> Guten Abend,
>
> ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu bearbeiten und komme
> aber leider auf keinen grünen Zweig.
>
> Bei dem Aufgabenteil mit der Ungleichheit habe ich mir
> überlegt einfach beide Seiten zu berechnen, jedoch weiß
> ich nicht, wie ich das anstellen soll, da Doppelintegral
> und jeweils offene Intervalle.
Offene Intervalle sind kein Hinderungsgrund: für das Integral ist es egal, ob einzelnbe Punkte hinzugenommen oder weggelassen werden.
Es ist auch kein allgemeines Doppelintegral, sondern zwei ineinander geschachtelte Integrale. Um
[mm] \int_{I_1}\left(\int_{I_2}f(x_1,x_2)dx_2\right)dx_1 [/mm]
auszurechnen, berechnest du zuerst das innere Integral
[mm] \int_{I_2}f(x_1,x_2)dx_2 = \integral_0^1 \bruch{x_1^2-x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2} \,dx_2 = \bruch{1}{1+x_1^2[/mm]
und integrierst das Ergebnis über [mm] $x_1$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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