Vertauschen unendliche Summen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgenden Term:
[mm] $\sum_{n\in\IN} \sum_{k \in \IN} a_{n_k}$
[/mm]
Die Summationsreihenfolge innerhalb der Summen ist egal, es gilt [mm] $\forall [/mm] n,k [mm] \in \IN: a_{n_k} \ge [/mm] 0$. Es kann durchaus [mm] $\sum_{n\in\IN}a_{n_k} [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] bzw. [mm] $\sum_{k\in\IN}a_{n_k} [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] sein.
Ich möchte jetzt diese Summen vertauschen und suche nach einer möglichst einfachen Begründung, die mir das erlaubt. Vertauschen von unendlichen Summen hat ja auch immer etwas mit Vertauschen von Limiten zu tun, deswegen bin ich etwas unsicher.
Kann mir jemand dabei helfen?
Stefan
PS.: Evtl. noch ein konkretes Beispiel, meine Frage würde ich aber gern allgemein beantwortet haben: Für eine Zufallsvariable mit [mm] $X\in \IN$ [/mm] auf einem W-Raum [mm] $(\Omega, \IP)$ [/mm] gilt ja:
$EX = [mm] \sum_{n\in\IN}n*\IP(X [/mm] = n) = [mm] \sum_{n\in\IN} \sum_{k\in\IN}\IP(X [/mm] = n) [mm] 1_{\{k \le n\}}$
[/mm]
Nun der kritische Punkt (ich glaube, hier kann man es mit Fubini für Maßintegrale (Zählmaß) begründen:
$ = [mm] \sum_{k\in\IN}\sum_{n\in\IN}\IP(X [/mm] = n) [mm] 1_{\{k \le n\}} [/mm] = [mm] \sum_{k\in\IN}\IP(X \ge [/mm] k)$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Sa 05.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ich möchte jetzt diese Summen vertauschen und suche nach
> einer möglichst einfachen Begründung, die mir das
> erlaubt.
Schau dir Konvergenz summierbarer Familien in Königsberger, Analysis I an. Falls eine deiner obigen Summen unendlich ist, so wird auch jede Umordnung einen unendlichen Wert ergeben müssen.
Oder in kurz: alles ist positiv, also kein Problem.
SEcki
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Hallo SEcki,
danke für deine Antwort!
Ich glaube, das beantwortet meine Frage bereits. Könntest du mir trotzdem noch die ungefähre Seitenzahl im Königsberger schreiben?
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hallo SEcki,
>
> danke für deine Antwort!
> Ich glaube, das beantwortet meine Frage bereits. Könntest
> du mir trotzdem noch die ungefähre Seitenzahl im
> Königsberger schreiben?
das wird in Kapitel 6.3, dann irgendwann nach Seite 68, stehen. Sowas kannst Du mit google books schnell suchen, wenn Du das Buch gerade nicht zur Hand hast.
P.S.
Google einfach mal nach "Summierbare Familien" oder "Vertauschbarkeit der Summation bei absolut konvergenten Reihen + summierbare Familien" - auch da findet man oft sehr hilfreiche pdf-Dateien.
Gruß,
Marcel
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Danke Marcel für deine Antwort!
> P.S.
> Google einfach mal nach "Summierbare Familien" oder
> "Vertauschbarkeit der Summation bei absolut konvergenten
> Reihen + summierbare Familien" - auch da findet man oft
> sehr hilfreiche pdf-Dateien.
Diese Sätze sind ja alle für Reihen mit endlichen Grenzwerten, wenn ich das richtig sehe. Wenn aber meine Summen gar nicht im eigentlichen Sinne konvergieren, sondern bestimmt divergieren, sind diese Sätze ja gar nicht mehr anwendbar.
Es ist mir irgendwie "klar", dass wenn [mm] $a_{n_k}\in [/mm] [0, [mm] \infty]$ [/mm] (d.h. es können schon einzelne Summanden [mm] $\infty$ [/mm] sein, müssen aber nicht!) die Gleichheit
[mm] $\sum_{n\in\IN}\sum_{k\in\IN}a_{n_k} [/mm] = [mm] \sum_{k\in\IN}\sum_{n\in\IN}a_{n_k}$
[/mm]
gilt. Aber ich kann es nicht begründen...
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stephan,
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> Danke Marcel für deine Antwort!
>
> > P.S.
> > Google einfach mal nach "Summierbare Familien" oder
> > "Vertauschbarkeit der Summation bei absolut konvergenten
> > Reihen + summierbare Familien" - auch da findet man oft
> > sehr hilfreiche pdf-Dateien.
>
>
> Diese Sätze sind ja alle für Reihen mit endlichen
> Grenzwerten, wenn ich das richtig sehe. Wenn aber meine
> Summen gar nicht im eigentlichen Sinne konvergieren,
> sondern bestimmt divergieren, sind diese Sätze ja gar
> nicht mehr anwendbar.
>
>
> Es ist mir irgendwie "klar", dass wenn [mm]a_{n_k}\in [0, \infty][/mm]
> (d.h. es können schon einzelne Summanden [mm]\infty[/mm] sein,
> müssen aber nicht!) die Gleichheit
>
> [mm]\sum_{n\in\IN}\sum_{k\in\IN}a_{n_k} = \sum_{k\in\IN}\sum_{n\in\IN}a_{n_k}[/mm]
>
> gilt. Aber ich kann es nicht begründen...
also interessant ist doch eh nur der Fall, dass alle [mm] $a_{n_k} \in [0,\infty)\,$ [/mm] - denn wenn auch nur ein Summand den Wert [mm] $+\infty$ [/mm] hat, dann ist doch klar, dass jede der beiden Reihen den Wert [mm] $\infty$ [/mm] hat:
Nimm' halt eine endliche Indexmenge (das kannst Du, musst Du aber nicht separat für jede der beiden Reihen tun - Du kannst auch die gleiche für beide nehmen), wo der Index mit einem Summanden, der den Wert [mm] $+\infty$ [/mm] hat, drin vorkommt.
(Du kannst doch trivialerweise sogar einfach, wenn [mm] $a_{n_{k_0}}=\infty$ [/mm] ist, mal [mm] $\{n_{k_0}\} \subseteq [/mm] I$ betrachten!)
Denn man hat doch per Definitionem, dass [mm] $r+\infty=\infty$ [/mm] für alle $r [mm] \in (-\infty,\intfy]$ [/mm] gilt!
O.E. seien also alle Summanden [mm] $\in [0,\infty)$:
[/mm]
Wenn eine Deiner Reihen dann gegen einen Wert $< [mm] \infty$ [/mm] konvergiert, dann liefern diese Sätze ja gerade die Behauptung. (Insbesondere konvergieren dann beide Reihen gegen einen (und sogar den gleichen) Wert $< [mm] \infty\,.$) [/mm]
(Und das ist nicht ganz trivial - vor allem braucht man ja gewisse Voraussetzungen dann, wenn die Summanden nicht alle [mm] $\in [0,\infty]$ [/mm] liegen würde - in dem Fall, dass - wie bei Dir - alle Summanden [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, kann man das eigentlich leicht einsehen - alleine wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes!)
Und die Sätze besagen doch insbesondere, dass entweder beide der Reihen gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben, oder eben beide konvergent in [mm] $\IR$ [/mm] sind.
Aber mal beispielhaft, dass man sich auch selbst elementar überlegen kann, dass, wenn eine der beiden Reihen gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt, das dann auch die andere tut:
Nimm' einfach irgendeine der beiden Reihen her, die gegen [mm] $+\infty$ [/mm] streben soll:
Für ein $0 < M < [mm] \infty$ [/mm] gibt es dann eine endliche Teilmenge von Indizes so, dass die (endliche) Summe nur über die Summanden, deren Indizes aus der endlichen Teilmenge sind, dann [mm] $M\,$ [/mm] übertrifft.
Bei der anderen Reihe betrachtest Du dann halt mal die gleiche endliche Teilmenge von Indizes...
Das ist eigentlich alles wirklich vollkommen banal (es sei denn, ich habe nun selbst irgendwo einen Denk- oder Faulheitsfehler: Faulheitsfehler, weil ich mir, ehrlich gesagt, gerade nicht mehr ganz die Definition von "summierbar" angeguckt habe - aber es sollte (bzgl. [mm] $\IC$) [/mm] etwa so aussehen:
Ist [mm] $I\,$ [/mm] irgendeine Indexmenge und sind etwa alle [mm] $a_i \in \IC\,,$ [/mm] dann heißt [mm] $(a_i)_{i \in I}$ [/mm] summierbar (gegen $a [mm] \in \IC$), [/mm] wenn es ein $a [mm] \in \IC$ [/mm] so gibt, dass gilt: Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert eine endliche Teilmenge [mm] $E=E_\epsilon \subseteq [/mm] I$ so, dass [mm] $|a-\sum_{\ell \in L}a_\ell| \le \epsilon$ [/mm] für alle $L [mm] \supseteq [/mm] E$ mit $L [mm] \subseteq [/mm] I$ endlich.
Man schreibt (im Falle der Summierbarkeit) dann [mm] $\sum_{i \in I}a_i:=a\,.$
[/mm]
Und ferner müßte dann für [mm] $a_i \in [0,\infty]$ [/mm] etwa definiert sein:
[mm] $\sum_{i \in I} a_i=\infty$ [/mm] gilt per Definitionem genau dann, wenn es zu jedem $M [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] eine endliche Menge [mm] $E=E_M \subseteq [/mm] I$ so gibt, dass
[mm] $$\sum_{\ell \in L}a_\ell \ge [/mm] M$$
für alle $L [mm] \supseteq [/mm] E$ mit $L [mm] \subseteq [/mm] I$ endlich.
(P.S.: Wenn man eh die Endlichkeit von [mm] $L\,$ [/mm] fordert, kann man sich die von [mm] $E\,$ [/mm] eigentlich sparen.)
P.P.S.
Habe gerade doch nochmal "summierbar" nachgeguckt und das korrigiert. Diese "Obermengeneigenschaft" der endlichen Obermenge ist schon wichtig in der Definition - das hatte ich eben in "meiner falsch erdachten Version" nicht beachtet!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deine Antwort!
Deine Anmerkungen haben mir sehr geholfen, jetzt glaube ich es  !
Steafn
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