Verteilung, betrag,Subtraktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 So 26.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei D=|X-Y| wobei X,Y unabhängig und gleichmäßig verteilt sind auf (1/2,1]
Bestimme Verteilungsfunktion. |
|X-Y| nimmt werte in [0,1/2) an
[mm] F_D [/mm] (z) = P (| X-Y| [mm] \le [/mm] z ) = P(-z [mm] \le [/mm] X-Y [mm] \le [/mm] z) = P(X-Y [mm] \le [/mm] z) - P(X-Y < -z)= [mm] F_{X-Y} [/mm] (z) - [mm] F_{X-Y} (lim_{n->\infty} [/mm] (-z-1/n))
[mm] F_{X-Y} [/mm] (t) = [mm] F_X [/mm] ( [mm] \frac{t-(-Y)}{1})= F_x [/mm] (t+Y) [mm] =\begin{cases} 0, & \mbox{für } t+Y<= 1/2 \\ 1, & \mbox{für } t+Y >0 \\ 2(t-1/2), & \mbox{für } t+Y \in (1/2,1] \end{cases}
[/mm]
X-Y= g [mm] \circ [/mm] X mit g(x)= x+ (-Y)
wie werd ich das Y los?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Mo 27.05.2013 | | Autor: | sissile |
Weitere Überlegung:
[mm] f_{X-Y} [/mm] (y)= [mm] \int_{-\infty}^{\infty} f_X [/mm] (x) * [mm] f_{-Y} [/mm] ( y-x) dx
[mm] f_{-Y} [/mm] (z)= - [mm] f_Y [/mm] (-z)
mit lineare Transformation Y= g [mm] \circ [/mm] Y , g(x)=-x
da allgemeine lineare Transformation , Y= g [mm] \circ [/mm] X, g(x) = ax + b ->
[mm] f_Y [/mm] (x) = 1/a [mm] f_X (\frac{x-b}{a})
[/mm]
[mm] f_{X-Y} [/mm] (y) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} -f_X [/mm] (x) * [mm] f_{Y} [/mm] ( x-y) dx
Das x-y stört mich aber hier im Argument für die Dichte auszudrücken.
[mm] f_X [/mm] (x) = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{sonst } \\ 1/(1-1/2) =2, & \mbox{für }x \in (1/2,1] \end{cases}
[/mm]
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Hiho,
> [mm]F_D[/mm] (z) = P (| X-Y| [mm]\le[/mm] z ) = P(-z [mm]\le[/mm] X-Y [mm]\le[/mm] z) = P(X-Y [mm]\le[/mm] z) - P(X-Y < -z)= [mm]F_{X-Y}[/mm] (z) - [mm]F_{X-Y} (lim_{n->\infty}[/mm] (-z-1/n))
Den Limes brauchst du zum Schluss nicht, da du eine stetige Verteilung hast. Für diese gilt [mm] $\IP(X-Y [/mm] < z) = [mm] \IP(X-Y \le [/mm] z)$.
Berechne die Verteilung von X-Y nun einfach direkt über:
$P(X-Y [mm] \le [/mm] z) = [mm] \integral_{\{X-Y \le z\}} f_{(X,Y)}(x,y) [/mm] dx dy$
Was weißt du über die gemeinsame Dichte [mm] $f_{(X,Y)}$?
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:30 Mo 27.05.2013 | | Autor: | sissile |
LÖSCHEN.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 03:26 Mo 27.05.2013 | | Autor: | sissile |
So ich habs noch einmal versucht:
[mm] \{ x,y \in \IR : x-y \le z \}
[/mm]
x-y [mm] \le [/mm] z
-y [mm] \le [/mm] z-x
y [mm] \ge [/mm] x-z
[mm] F_{x-y} [/mm] (z) = [mm] \int_{1/2}^1 \int_{x-z}^1 [/mm] 4 * [mm] 1_{x \in (1/2,1] , y \in (1/2,1]} [/mm] dy dx = 2z + 1/2
[mm] 1_{..} [/mm] bedeutet charakteristische Funktion /indikatorfunktion
Aber wie muss ich z wählen?
Nun z muss so gewählt werden, dass 1/2 < x-z < 1 , wobei 1/2 < x [mm] \le [/mm] 1
Aber das funktioniert nicht so richtig...
[mm] F_{x-y} [/mm] (-z) = [mm] \int_{1/2}^1 \int_{1/2}^{-z+y} [/mm] 4 * [mm] 1_{x \in (1/2,1] , y \in (1/2,1]} [/mm] dx dy = 1/2 - 2z
Selbe Problem wie oben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Mi 29.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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