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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Mi 04.06.2014 | | Autor: | k0ol |
Hallo liebes Forum,
ich habe das folgende Problem:
Angenommen es gibt drei Typen von Menschen, die alle genau eine Kugel in eine Urne werfen. Menschen vom Typ A werfen immer eine rote Kugel in die Urne, Menschen vom Typ B werfen immer eine grüne Kugel in die Urne und Menschen vom vom Typ C werfen entweder eine rote oder eine grüne oder eine blaue Kugel in die Urne (gleichverteilt).
Ich beobachte nur die ex-post Zusammensetzung der Kugeln in der Urne und möchte daraus auf die Verteilung der Typen schließen. Mein bisheriger Ansatz war der folgende:
Seien [mm] $n_r$, $n_g$ [/mm] und [mm] $n_b$ [/mm] die Anzahl von roten, grünen und blauen Kugeln in der Urne. Wenn [mm] $\alpha_A$, $\alpha_B [/mm] und [mm] $\alpha_C$ [/mm] den Anteil der Menschen vom entsprechenden Typ bezeichnet ist die Wahrscheinlichkeit eine gegebene Zusammensetzung an Kugeln zu beobachten:
[mm] $$L=(\frac{\alpha_C}{3}+\alpha_A)^{n_r} (\frac{\alpha_C}{3}+\alpha_B)^{n_g}(\frac{\alpha_C}{3})^{n_b}$$ [/mm]
Ich habe nun die [mm] $alpha_i$ [/mm] so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit $L$ maximiert wird (Maximum Likelihood). Dabei habe ich Nebenbedingungen eingeführt, so dass alle [mm] $\alpha_i \in [/mm] [0:1]$ und [mm] $\sum \alpha_i [/mm] =1$ (weil in meinem Modell jeder Mensch genau einen Typ hat).
Die Ergebnisse sind leider nicht so überzeugend, was allerdings auch technische Gründe haben könnte (ich habe die Optimierung mit R und constrOptim durchgeführt). Daher meine Fragen:
- Stimmt der Ansatz mit ML unter Nebenbedingung überhaupt?
- Falls ja, stimmt die Likelihood Funktion?
- Gibt es evtl einen besseren/direkteren Weg die Verteilung der Typen aus Daten abzulesen?
Danke und Viele Grüße
ko0l
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Mi 04.06.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo liebes Forum,
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> ich habe das folgende Problem:
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> Angenommen es gibt drei Typen von Menschen, die alle genau
> eine Kugel in eine Urne werfen. Menschen vom Typ A werfen
> immer eine rote Kugel in die Urne, Menschen vom Typ B
> werfen immer eine grüne Kugel in die Urne und Menschen vom
> vom Typ C werfen entweder eine rote oder eine grüne oder
> eine blaue Kugel in die Urne (gleichverteilt).
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> Ich beobachte nur die ex-post Zusammensetzung der Kugeln in
> der Urne und möchte daraus auf die Verteilung der Typen
> schließen. Mein bisheriger Ansatz war der folgende:
>
> Seien [mm]n_r[mm], [/mm]n_g[/mm] und [mm]n_b[/mm] die Anzahl von roten, grünen
> und blauen Kugeln in der Urne. Wenn [mm]\alpha_A[mm], [/mm]\alpha_B[/mm]
> und [mm]\alpha_C[/mm] den Anteil der Menschen vom entsprechenden
> Typ bezeichnet ist die Wahrscheinlichkeit eine gegebene
> Zusammensetzung an Kugeln zu beobachten:
>
> [mm]L=(\frac{\alpha_C}{3}+\alpha_A)^{n_r} (\frac{\alpha_C}{3}+\alpha_B)^{n_g}(\frac{\alpha_C}{3})^{n_b}[/mm]
>
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> Ich habe nun die [mm]alpha_i[/mm] so gewählt, dass die
> Wahrscheinlichkeit [mm]L[/mm] maximiert wird (Maximum Likelihood).
> Dabei habe ich Nebenbedingungen eingeführt, so dass alle
> [mm]\alpha_i \in [0:1][/mm] und [mm]\sum \alpha_i =1[/mm] (weil in meinem
> Modell jeder Mensch genau einen Typ hat).
>
> Die Ergebnisse sind leider nicht so überzeugend, was
> allerdings auch technische Gründe haben könnte (ich habe
> die Optimierung mit R und constrOptim durchgeführt). Daher
> meine Fragen:
>
> - Stimmt der Ansatz mit ML unter Nebenbedingung
> überhaupt?
> - Falls ja, stimmt die Likelihood Funktion?
> - Gibt es evtl einen besseren/direkteren Weg die
> Verteilung der Typen aus Daten abzulesen?
>
> Danke und Viele Grüße
> ko0l
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo ko01,
ich kann mit deinem Ansatz mangels eigener Vorkenntnisse in der ML-Sache persönlich nichts anfangen.
Für mich ergibt sich aber folgender simpler Zugang: Da die blauen Kugeln nur vom Typ C stammen (und der Typ C mit der gleichen Wahrscheinlichkeit zwischen rot, grün und blau wählt), sollte man auch von den eingeworfenen roten bzw. grünen Kugeln genau die Anzahl dem Typ C zuordnen, die der Anzahl der blauen Kugeln entspricht.
Was danach bei grün und rot noch übrig ist, kann den Typ A bzw. B zugeordnet werden.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 04.06.2014 | | Autor: | k0ol |
Hallo abakus,
schon mal vielen Dank für Deine Antwort.
Das beschriebene Problem ist eigentlich nur eine vereinfachte Version, die sich erst mal leichter beschreiben lies. In meinem eigentlichen Problem gibt es 64 Farben und 6 Typen. 59 Farben werden nur vom Typ 0 gewählt, Typ 1 bis Typ 5 wählen jeweils genau eine der verbleibenden 5 Farben. Typ 0 randomisiert (nach wie vor gleichverteilt) allerdings über alle 64 Farben. Wenn z.B. 10% der Kugeln eine der 59 Farben, die nur Typ 0 wählt, haben, würde Dein Ansatz bedeuten, dass der Anteil an Typ 0 Menschen [mm] $10\%\cdot\frac{64}{59}\approx 10.85\%$ [/mm] beträgt, oder? Die verbleibenden 89.15% verteile ich dann gemäß den beobachteten Häufigkeiten auf die restlichen 5 Typen, ja?
Wie sicher bist Du Dir bei Diesem Vorgehen?
Danke und Gruß
k0ol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Do 05.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin k0ol
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Mir stellt sich das Problem so dar: Drei Merkmal, welche mit der Wsk [mm] $p_j$ [/mm] auftreten. In einer Stichprobe treten die Merkmale mit den Haeufigkeiten [mm] $n_j$ [/mm] auf. Dann ist die L-Funktion [mm] $L=p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}$. [/mm] Die ML-Schaetzer sind dann [mm] $\hat p_j=n_j/n$, $n=n_1+n_2+n_3$. [/mm]
Setze nun [mm] $p_1=\alpha_C+\alpha_A$ [/mm] usw. ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 05.06.2014 | | Autor: | k0ol |
Hallo Luis,
Sofern Du mit Deinem letzten Satz [mm] $p_1=\frac{\alpha_C}{3}+\alpha_A$ [/mm] meinst, wird das dann wohl stimmen. Es läuft dann auf diesselbe Lösung wie der von abakus vorgeschlagene Ansatz hinaus. Ich kriege dann
[mm] $$\alpha_C=3\frac{n_b}{\sum n_i} [/mm] $$ und
$$ [mm] \alpha_{A,B}=\frac{n_{r,g}-n_b}{\sum n_i}$$
[/mm]
Danke Euch Beiden, so wie es aussieht habe ich mir das Leben da deutlich zu schwer gemacht.
Gruß k0ol
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