Verteilung und Tschebyscheff < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Di 01.09.2009 | | Autor: | Phiesel |
| Aufgabe | | Sei Xn gleichverteilt auf {-n,....,0,1,......,n} Man vergleiche für große n P(|Xn| >= n/2) und P(|Xn| >= n/10) Mit den Abschätzungen, die man aus der Tschebyscheff Ungleichung erhält. |
Tschebyscheff sagt:
P(|X-Ex| >= e) <= 1/e² Var(x)
Ich habe mir überlegt, dass der Erwartungswert gleich null sein müsste.
Somit gilt:
P(|Xn| >= n/2) <= 4/n² VAr (X)
und
P(|Xn| >= n/10) <= 100/n² Var (x)
Der Faktor der Varianz ist bei beiden gleichhoch. Der Zähler ist bei großen n verschwindend gering, demnach unwichtig und die Abschätzung dürfte bei beiden etwa gegen denselben Wert laufen.
Ist meine Überlegung korrekt? Habe ich einen Denkfehler begangen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 01.09.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
du hast Recht, der Erwartungswert ist 0, jetzt solltest du dir überlegen wie die Varianz aussieht, dann kannst du die Abschätzung vervollständigen schon kürzen und n sehr groß werden lassen, dann kann man es vergleichen.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 01.09.2009 | | Autor: | Phiesel |
joa....da stellt sich dann bei mir aber das Problem ein. Wie berechne ich davon denn die Varianz?
Ich stelle mir am Einfachsten die folgende Formel vor:
VarX = E(X²) - (EX)²
weil hier schonmalder hintere Term immer null würde.
Aber E(X²) ? Wie sieht das denn aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> joa....da stellt sich dann bei mir aber das Problem ein.
> Wie berechne ich davon denn die Varianz?
>
> Ich stelle mir am Einfachsten die folgende Formel vor:
>
> VarX = E(X²) - (EX)²
>
> weil hier schonmalder hintere Term immer null würde.
>
> Aber E(X²) ? Wie sieht das denn aus?
Na, das ist [mm] $\frac{1}{2 n + 1} \sum_{i=-n}^n i^2 [/mm] = [mm] \frac{2}{2 n + 1} \sum_{i=1}^n i^2$.
[/mm]
Wenn du die Formel [mm] $\sum_{i=1}^n i^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{6} [/mm] n (n + 1) (2 n + 1)$ benutzt, erhaelst du $Var(X) = [mm] E(X^2) [/mm] = [mm] \frac{2}{2 n + 1} \frac{1}{6} [/mm] n (n + 1) (2 n + 1) = [mm] \frac{1}{3} [/mm] n (n + 1)$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Phiesel |
Danke für die Beantwortung. Wie du EX² berechnest, ist mir klar geworden. Doch wie kommt dieser Schritt zu Stande?
Wenn du die Formel $ [mm] \sum_{i=1}^n i^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{6} [/mm] n (n + 1) (2 n + 1) $ benutzt,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mi 02.09.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin phiesel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke für die Beantwortung. Wie du EX² berechnest, ist
> mir klar geworden. Doch wie kommt dieser Schritt zu
> Stande?
>
> Wenn du die Formel [mm]\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)[/mm]
> benutzt,
Was ist dir denn unklar? Die Formel? Dann beweise sie (durch vollst. Ind.)...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 03.09.2009 | | Autor: | Phiesel |
naja, aber warum sollte ich die Formel denn beweisen?
Ich denke mein Vorredner hatte die Formel irgendwo her und sich nicht spontan überlegt.
Ich würde gerne wissen, ob das eine bekannte Formel ist oder nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Do 03.09.2009 | | Autor: | Phiesel |
hmm..ok, habe die Formel jetzt in einem Lehrbuch gefunden ;)
Diese ganzen Summenumformungen....wer steigt da noch durch?
Dann hat sich jetzt alles erledigt hier!
Vielen Dank für eure Hilfen
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