Verteilung von Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Amelie |
Hallo,
ich sitze gerade über einer Aufgabe, bei der ich die Verteilung von [mm] X_{1}+X_{2} [/mm] bestimmen soll, wobei die beiden Zufallsvariablen unabhängig und
a) Exponentialverteilt
b) gleichverteilt
sind.
Nun handelt es sich bei den Verteilungen in a) und b) ja um stetige Verteilungen. D.h. zur Lösung der Aufgabe benötige ich die Faltungsformel für stetige Verteilungen.
Das wäre dann ja :
[mm] P(X_{1}+X_{2}=k) [/mm] = h(x) = [mm] \integral_{ -\infty}^{ \infty} [/mm] {f(x-t) g(t) dt}
Allerdings kann ich mit f(x-t) und g(t) nichts anfangen.
Ich habe mir allerdings überlegt, dass man für f(x-t) die Dichte der Verteilung mit x=x-t einsetzen muss. Aber woraus setzt sich dann g(t) zusammen?
Es wäre echt toll, wenn mir jemand das anhand der Exponential- und der Gleichverteilung erklären könnte.
Vielen Dank schonmal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 So 17.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Amelie!
Da [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] beide exponentialverteil (sagen wir, mit Parametern [mm] $\lambda_1>0$ [/mm] und [mm] $\lambda_2>0$) [/mm] sind, gilt:
$f(x) = [mm] 1_{[0,+\infty[}(x) \cdot \lambda_1 \cdot e^{-\lambda_1 x}$
[/mm]
(also insbesondere: $f(x-t) = [mm] 1_{[0,+\infty[}(x-t) \cdot \lambda_1 \cdot e^{-\lambda_1 (x-t)} [/mm] = [mm] 1_{[0,x]}(t) \cdot \lambda_1 \cdot e^{-\lambda_1 (x-t)}$)
[/mm]
und
$g(t) = [mm] 1_{[0,+\infty[}(t) \cdot \lambda_2 \cdot e^{-\lambda_2 t}$.
[/mm]
Somit erhält man für die Dichte von [mm] $X_1+X_2$ [/mm] im Falle [mm] $\lambda_1 \ne \lambda_2$:
[/mm]
[mm] $f_{X_1+X_2}(x) [/mm] = [mm] \lambda_1 \lambda_2 e^{-\lambda_1 x} \int\limits_{0}^x e^{(\lambda_1 - \lambda_2)t}\, [/mm] dt = [mm] \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2} \cdot \left( e^{-\lambda_1 x} - e^{-\lambda_2 x} \right)$.
[/mm]
Den Fall [mm] $\lambda_1=\lambda_2$ [/mm] und die (simple) Rechnung für die Gleichverteilung überlasse ich dir zur Übung. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Fr 22.07.2005 | | Autor: | Amelie |
Sorry, dass ich erst jetzt eine Rückmeldung, aber mein Internet ging nicht. Wollte mich noch für die schnelle Hilfe bedanken. Hab mittels der Lösungsidee zumindest den Fall der Exponentialverteilung rausbekommen.
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