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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Fr 03.02.2012 | | Autor: | chesn |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | 1. Sei X\sim Exp(\lambda). Für welche \sigma >0, \mu \ge 0 hat \sigma X+\mu wieder eine Exponential-Verteilung? |
Hallo! Mir fehlt bei der Aufgabe der Durchblick, wäre nett wenn jemand Tipps geben könnte.
Die Dichte der Exponentialverteilung:
f(t)=$\{^{\ \lambda*exp(-\lambda*t) \ \ falls \ t \ge 0}_{ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ falls \ t < 0}$
1. Im Skript steht folgendes: Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit dichte f_X und Werten in einem offenen Intervall I \subset \IR. Sei außerdem $u:I\to J$ ein Diffeomorphismus. Dann hat Y:=u(X) auf J die Dichte:
f_Y(y)=f_X(u^{-1}(y))*|(u^{-1})'(y)|.
In der Aufgabe ist u(x)=\sigma*x+\mu und damit u^{-1}(y)=\bruch{y-\mu}{\sigma} und weiter (u^{-1})'(y)=\bruch{1}{\sigma}.
f_Y(y)=f_X(\bruch{y-\mu}{\sigma})*\bruch{1}{\sigma}=\lambda*exp(-\lambda*(\bruch{y-\mu}{\sigma}))*\bruch{1}{\sigma}
Das ganze muss jetzt wieder die Dichte der Exponentialverteilung sein.
Muss ich also $ \sigma =1 $ und \mu beliebig wählen (wegen y-\mu=x mit \sigma=1) oder verstehe ich da was falsch??
Danke schonmal für jede hilfreiche Antwort!! :)
Gruß
chesn
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Huhu,
dein Ansatz ist nicht schlecht. Am Schluß hast du jedoch einen Denkfehler.
Es ist ja nicht verlangt, dass Y Exponentialverteilt zum Parameter [mm] \lambda [/mm] sein muss.
D.h. die Dichte kann bspw. auch die Form [mm] $\alpha*e^{-\alpha*y}$ [/mm] haben.
Nun schau dir deine Dichtefunktion nochmal an und versuche sie, auf diese Form umzuformen. So wirst du auf eine Einschränkung für [mm] \mu [/mm] kommen. Wie siehts mit [mm] $\sigma$ [/mm] aus?
Und zu guter letzt noch ein (für mich schnellerer) Weg, um an die Dichte zu kommen:
Es gilt ja für die Verteilung von Y:
[mm] $\IP(Y \le [/mm] y)= [mm] \IP(\sigma*X [/mm] + [mm] \mu \le [/mm] y) = [mm] \IP(X \le \bruch{y-\mu}{\sigma})$
[/mm]
Und damit für die Dichtefunktion:
[mm] $f_Y(y) [/mm] = [mm] \left(\IP(Y \le y)\right)' [/mm] = [mm] \left(\IP(X \le \bruch{y-\mu}{\sigma})\right)' [/mm] = [mm] f_X(\bruch{y-\mu}{\sigma})*\bruch{1}{\sigma}$
[/mm]
Einsetzen liefert die gleiche Lösung wie von dir 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 06.02.2012 | | Autor: | chesn |
Okay, vielen Dank erstmal.
Ich komme auf Folgendes:
[mm] f_Y(y)=\lambda*exp(-\lambda*\bruch{y-\mu}{\sigma}))*\bruch{1}{\sigma}=\bruch{\lambda}{\sigma}*exp(-\bruch{\lambda}{\sigma}*(y-\mu))
[/mm]
Da in der Original-Exponentialverteilung der Parameter $ [mm] \lambda [/mm] > 0 $ ist, muss also hier [mm] \sigma [/mm] > 0 und [mm] \mu=0 [/mm] sein, damit y allein steht.
Richtig so??
Gruß
chesn
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Hiho,
> Okay, vielen Dank erstmal.
>
> Ich komme auf Folgendes:
>
> [mm]f_Y(y)=\lambda*exp(-\lambda*\bruch{y-\mu}{\sigma}))*\bruch{1}{\sigma}=\bruch{\lambda}{\sigma}*exp(-\bruch{\lambda}{\sigma}*(y-\mu))[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da in der Original-Exponentialverteilung der Parameter
> [mm]\lambda > 0[/mm] ist, muss also hier [mm]\sigma[/mm] > 0 und [mm]\mu=0[/mm] sein,
> damit y allein steht.
Da [mm] $\sigma [/mm] > 0$ vorausgesetzt war, gehen also alle gegeben.
MFG,
Gono.
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