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| Aufgabe | Sei X gleichverteilt auf [0,1], a > 0 und [mm]Y := -\bruch{1}{a} * log X [/mm]
Bestimme die Verteilungsfunktion |
Hallo,
ich würde nur gerne wissen, ob mein Ergebnis soweit stimmt.
[mm] P(Y \le k ) = P( -\bruch{1}{a} * log X \le k) = 1 - P(X < -e^{ka} )
= 1 - F_x (-e^{ka} )[/mm]
Da nun X gleichverteilt ist folgt aus der passenden Verteilungsfunktion von X, dass die Verteilungsfunktion folgendermaßen aussieht:
[mm]F_y (k) =\begin{Bmatrix}
0, & k \ge 0\\
1-k+e^{ka},& 0 < k < 1\\
1, & k\le 0
\end{Bmatrix} [/mm]
Stimmt mein Endergebnis?
Wäre super wenn auch jmd nochmal aller kleiner (größer) bzw. kleiner (größer) gleich durchsehen würde.
danke im vorraus
lg
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Hallo,
> Sei X gleichverteilt auf [0,1], a > 0 und [mm]Y := -\bruch{1}{a} * log X[/mm]
>
> Bestimme die Verteilungsfunktion
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> Hallo,
> ich würde nur gerne wissen, ob mein Ergebnis soweit
> stimmt.
>
> [mm]P(Y \le k ) = P( -\bruch{1}{a} * log X \le k) = 1 - P(X < -e^{ka} ) = 1 - F_x (-e^{ka} )[/mm]
IMO steckt hier schon ein Fehler. Das Minuszeichen sollt beim Auflösen nach X in den Exponenten kommen, von daher ist alles weitere auch falsch. Überprüfe mal dein Resultat für k->1, da kannst du leicht sehen, dass etwas nicht stimmen kann.
Gruß, Diophant
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[mm]P(Y \le k ) = P( -\bruch{1}{a} * log X \le k) = P(log X \ge -ak) = P(X \ge e^{-ak}) = 1-P(X < e^{-ka} ) = 1 - F_x (e^{-ka} )[/mm]
Du hast recht. Jetzt müsste es aber doch stimmen, oder?
Wäre denn der nachfolgende Schritt, einfach die Verteilungsfunktion von [mm] F_x [/mm] einsetzen und dann bin ich fertig richtig?
Mein Problem bezieht sich auf die letzte gleichheit. Da ich dort nur ein < und kein [mm] \le [/mm] habe. dann darf ich ja die verteilungsfunktion eig. nicht einsetzen.
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Hallo,
> [mm]P(Y \le k ) = P( -\bruch{1}{a} * log X \le k) = P(log X \ge -ak) = P(X \ge e^{-ak}) = 1-P(X < e^{-ka} ) = 1 - F_x (e^{-ka} )[/mm]
>
> Du hast recht. Jetzt müsste es aber doch stimmen, oder?
bis hierher stimmt es, aber fertig nbist du noch lange nicht.
> Wäre denn der nachfolgende Schritt, einfach die
> Verteilungsfunktion von [mm]F_x[/mm] einsetzen und dann bin ich
> fertig richtig?
Die Verteilungsfunktion einsetzen, ihren Definitionsbereich bestimmen (-> welche Werte kann Y annehmen!) und a bestimmen, dann bist du fertig. 
> Mein Problem bezieht sich auf die letzte gleichheit. Da
> ich dort nur ein < und kein [mm]\le[/mm] habe. dann darf ich ja die
> verteilungsfunktion eig. nicht einsetzen.
Das darf man bei stetigen Verteilungsfunktionen immer tun, da die Wahrscheinlichkeit P(X=k) hier stets gleich Null ist.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Studiiiii |
aahhh super danke, jetzt hab ich alles verstanden :)
den Rest krieg ich denke auch alleine hin.
riesen danke :)))
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Also nochmal langsam:
Ich nehme die Dichte der Gleichverteilung und Integriere diese. Daraus erhalte ich dann die Verteilungsfunktion [mm] F_x,
[/mm]
die ich dann einsetzen kann ?
Dazu nochmal eine Frage:
Die Dichte der Gleichverteilung (auf [0,1] ) ist gegeben durch:
[mm]f(t) = 1_{[0,1]} (t) = \begin{Bmatrix}
1 &, t \in [0,1] \\
0 & , t\not\in [0,1]
\end{Bmatrix} [/mm]
Die zugehörige Verteilungsfunktion ist:
[mm] F(t) = \begin{Bmatrix}
0 & , t \le 0 \\
t & ,0 \le t \le 1 \\
1 & ,t\ge 1
\end{Bmatrix}
[/mm]
Nun dachten wir uns, dass man die Dichtefunktion integriert und daraus die Verteilungsfunktion erhält, aber wie kommt man dann auf [mm]F(t \ge 1 ) = 1[/mm] in der Verteilungsfunktion ?
Wir kommen noch nicht so ganz klar mit der Dichtefunktion und Verteilungsfunktion.
Lg
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Hallo,
> Also nochmal langsam:
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> Ich nehme die Dichte der Gleichverteilung und Integriere
> diese. Daraus erhalte ich dann die Verteilungsfunktion
> [mm]F_x,[/mm]
> die ich dann einsetzen kann ?
>
> Dazu nochmal eine Frage:
> Die Dichte der Gleichverteilung (auf [0,1] ) ist gegeben
> durch:
> [mm]f(t) = 1_{[0,1]} (t) = \begin{Bmatrix} 1 &, t \in [0,1] \\
0 & , t\not\in [0,1] \end{Bmatrix}[/mm]
>
> Die zugehörige Verteilungsfunktion ist:
> [mm]F(t) = \begin{Bmatrix} 0 & , t \le 0 \\
t & ,0 \le t \le 1 \\
1 & ,t\ge 1 \end{Bmatrix}[/mm]
>
>
Das ist so alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun dachten wir uns, dass man die Dichtefunktion integriert
> und daraus die Verteilungsfunktion erhält, aber wie kommt
> man dann auf [mm]F(t \ge 1 ) = 1[/mm] in der Verteilungsfunktion ?
>
Alles viel zu kompliziert gedacht: die obige Verteilungsfunktion ist im Intervall [0;1] nichts anderes als die Identität, besser bekannt als erste Winkelhalbierende. Die Zufallsvariable Y nimmt Werte aus [mm] (0;\infty) [/mm] an, somit [mm] F_x(y) [/mm] Werte aus (0;1); also kann man die obige Funktion so wie sie ist verwenden, um den Ausdruck [mm] 1-F_x(e^{-ak}) [/mm] vollends auszuwerten und kommt dann auf
[mm]F_y(k)=P(Y\le{k})=1-F_x(e^{-ak})=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } k\le{0} \\
1-e^{-ak}, & \mbox{fuer } k>0 \end{cases}[/mm]
Gruß, Diophant
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Kannst du nochmal erläutern, wie du auf das Intervall von [mm] F_x [/mm] (y) kommst? und warum das ein offenes intervall ist, also warum (0,1)?
sind gerade etwas verwirrt.
lg
Danke schonmal für deine doch sehr sehr hilfreichen Antworten.
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Hallo,
das ist doch nichts anderes als eine e-Funktion. Welchen Wertevorrat nimmt die Funktion
[mm] f(x)=e^{-x}
[/mm]
im Intervall [mm] (0;\infty) [/mm] an?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Studiiiii |
aahh ohhh erleuchtung :D danke :D
Wir dachten wohl (schon wieder) an viel zu kompliziertere dinge.
So sollte es doch klar sein.
danke nochmal.
lg
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