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Verteilungsfunktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 So 15.05.2005
Autor: asudau

ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt

ich habe eine aufgabe mit der ich nicht weiter komme.
[mm] (\omega, [/mm] A, P)sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und X, Y : omega --> R seien unabhängig und exponentialverteilt zum Parameter [mm] \alpha [/mm] > 0- also mit der Dichte g(t) = [mm] \alpha [/mm] e [mm] ^{-\alpha t} [/mm] für t > 0 und g(t)=0 sonst.
Berechnen sie die Verteilungsfunktion (oder Dichte) und Erwartungswert von Z=min{X,Y}, V=max{X, Y} und W=X+Y

Wie geht man an sowas ran?
danke im voraus für jede hilfe und gruß von anne
ps ich weiß auch nicht so recht, was ich von dem 0- halten soll...
und das omega am anfang muss natürlich groß sein...
        
Bezug
Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Mo 16.05.2005
Autor: Stefan

Hallo asudau!

Ich gebe dir mal einen Ansatz, und du führst die Aufgabe dann zu Ende, ja? :-)

Also:

[mm] $F_Z(z)$ [/mm]

$=P(Z [mm] \le [/mm] z)$

$= [mm] P(\min(X,Y)\le [/mm] z)$

[mm] $=1-P(\min(X,Y)>z)$ [/mm]

[mm] $=1-P(\{X>z\} \cap \{Y>z\})$ [/mm]

$= 1-P(X>z) [mm] \cdot [/mm] P(Y>z)$

[mm] $=1-(1-F_X(z)) \cdot (1-F_Y(z))$ [/mm]

$= [mm] \ldots$ [/mm]

Zur zweiten Aufgabe:

[mm] $F_V(v)$ [/mm]

$=P(V [mm] \le [/mm] v)$

[mm] $=P(\max(X,Y) \le [/mm] v)$

[mm] $=P(\{X \le v\} \cap \{Y \le v\})$ [/mm]

$=P(X [mm] \le [/mm] v) [mm] \cdot [/mm] P(Y [mm] \le [/mm] v)$

[mm] $=F_X(v) \cdot F_Y(v)$ [/mm]

$= [mm] \ldots$. [/mm]

Bei der dritten Aufgabe musst du mit der Faltung arbeiten. Suche danach mal zunächst selber im Internet, wenn du es nicht kennst. Solltest du nichts dazu finden, kannst du dich ja noch einmal melden. :-)

Viele Grüße
Stefan
Bezug
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