Verteilungsfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Keine Aufgabenstellung |
Wie auch auf Wikipedia aufgeführt lassen sich über eine Verteilungsfunktion bestimmte Aussagen treffen:
1. monoton steigend
2. rechtsseitig stetig
3. Nach [mm] +\infty [/mm] geht sie 1 gegen und nach [mm] -\infty [/mm] geht sie gegen 0.
Die Frage ist nun: Lassen sich auch allgemeine Aussagen über die Eigenschaften der Stammfunktion der Verteilungsfunktion treffen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo dodothegoof,
> Die Frage ist nun: Lassen sich auch allgemeine Aussagen
> über die Eigenschaften der Stammfunktion der
> Verteilungsfunktion treffen?
Verteilungsfunktionen müssen überhaupt keine Stammfunktionen haben, wenn sie nicht stetig sind.
Viele Grüße
Tobias
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Aber ich dachte die Eigenschaft von Verteilungsfunktionen sei, dass sie stetig sind? Ok sagen wir mal so: Ich möchte mich bei meiner Frage auf Verteilungen beschränken die keine Sprungstellen haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Aber ich dachte die Eigenschaft von Verteilungsfunktionen
> sei, dass sie stetig sind?
Im Allgemeinen sind sie nur rechtsseitig stetig.
Z.B. die Verteilungsfunktion der Laplace-Verteilung auf [mm] $\{1,\ldots,n\}$ [/mm] ist (für jedes [mm] $n\in\IN$) [/mm] nicht stetig.
> Ok sagen wir mal so: Ich möchte
> mich bei meiner Frage auf Verteilungen beschränken die
> keine Sprungstellen haben.
Stammfunktionen G stetiger Verteilungsfunktionen haben folgende Eigenschaften (wenn ich mich nicht vertan habe...  ):
[mm] $G\colon\IR\to\IR$ [/mm] ist stetig differenzierbar, monoton wachsend, konvex und erfüllt [mm] $\lim_{x\to-\infty}\bruch{G(x)}{x}=0$ [/mm] sowie [mm] $\lim_{x\to\infty}\bruch{G(x)}{x}=1$.
[/mm]
Ob auch jede solche Funktion G eine Stammfunktion einer Verteilung mit stetiger Verteilungsfunktion ist, habe ich noch nicht herausgefunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]G\colon\IR\to\IR[/mm] ist stetig differenzierbar, monoton
> wachsend, konvex und erfüllt
> [mm]\lim_{x\to-\infty}\bruch{G(x)}{x}=0[/mm] sowie
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{G(x)}{x}=1[/mm].
>
> Ob auch jede solche Funktion G eine Stammfunktion einer
> Verteilung mit stetiger Verteilungsfunktion ist, habe ich
> noch nicht herausgefunden.
Ich bin jetzt zu dem Schluss gekommen, dass tatsächlich jede solche Funktion G eine Stammfunktion einer stetigen Verteilungsfunktion ist.
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Vielen Dank für deine Hilfe.
Wenn diese Eigenschaften zutreffen, dann heißt das wenn gilt [mm] $x_{1}
Das ganze noch mal verbal ausgedrückt:
Durch die Eigenschaften der Verteilungsfunktion $F(x)=G'(x)$ gilt ja, dass die Steigung immer [mm] $\ge [/mm] 0$ ist und mit größer werdenden $x$ die Steigung der Stammfunktion $G$ zunimmt. Somit die von dir beschriebenen Eigenschaften von monoton steigend und konvex. Und damit muss immer gelten [mm] $G(x_{1})
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn diese Eigenschaften zutreffen, dann heißt das wenn
> gilt [mm]x_{1}
> richtig?
[mm] $G(x_1)\le G(x_2)$. [/mm] Strenge Monotonie muss nicht gelten. Es könnte ja $G'(x)=F(x)=0$ für alle [mm] $x\in(-\infty,a]$ [/mm] für eine reelle Zahl a gelten. In diesem Fall ist G auf [mm] $(-\infty,a]$ [/mm] konstant und (bei größtmöglicher Wahl von a) auf [mm] $[a,\infty)$ [/mm] streng monoton wachsend.
> Das ganze noch mal verbal ausgedrückt:
> Durch die Eigenschaften der Verteilungsfunktion [mm]F(x)=G'(x)[/mm]
> gilt ja, dass die Steigung immer [mm]\ge 0[/mm] ist und mit größer
> werdenden [mm]x[/mm] die Steigung der Stammfunktion [mm]G[/mm] zunimmt. Somit
> die von dir beschriebenen Eigenschaften von monoton
> steigend und konvex.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und damit muss immer gelten
> [mm]G(x_{1})
(s.o.: Nein.)
> Und wenn ich das richtig sehe ist der
> entscheidene Aspekt, dass immer gilt [mm]G'(x)\ge 0[/mm], oder?
Ja.
> Das
> Gegenbeispiel ist für mich [mm]f(x)=x^{2}[/mm]. Die Steigung wird
> steigendem [mm]x[/mm] auch immer größer, aber sie ist eben nicht
> immer positiv.
OK.
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vielen Dank für deine Rückmeldung, jetzt kann ich zu allen Ausdrücken in meiner Gleichung eine eindeutige Aussage machen.
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