Verteilungsfunktion < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Eine stetige Zufallsvariable X besitzt die Dichtefunktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 2\\ 6-2x, & \mbox{für } 2 \leq X \leq 3 \\ 0, & \mbox{für } x > 3\end{cases}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X.
b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen X.
c) Geben Sie das 0,5-Quantil der Zufallsvariablen X an.
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X = 2,4) und $P(X [mm] \leq [/mm] 2,5 | X [mm] \geq [/mm] 2,2)$ |
a)
[mm] $F(x)=\int [/mm] 0 dx = ... = 1$
$F(X) = [mm] \int [/mm] -2x+6 dx = ... = [mm] -x^2+6x$
[/mm]
$F(X) = [mm] \int [/mm] 0 dx = ... = 1$
Soweit richtig?
b)
$E(X) = [mm] \int_{-\infty}^{2} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{-\infty}^{2} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] 0 = ... = 1$
$E(X) = [mm] \int_{2}^{3} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{2}^{3} [/mm] x [mm] \cdot 6-x^2 [/mm] = ... = [mm] \frac73$
[/mm]
$E(X) = [mm] \int_{3}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{3}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] 0 dx = ... = 1$
$Var(X) = [mm] \int_{-\infty}^3 (x-1)^2\cdot [/mm] 0 dx = ... = 1$
$Var(X) = [mm] \int_{2}^3 (x-\frac73)^2\cdot [/mm] (-2x+6) dx = ... = [mm] \frac{1}{18}$
[/mm]
$Var(X) = [mm] \int_3^{+\infty} (x-1)^2\cdot [/mm] 0 dx = ... = 1$
Soweit richtig?
c)
Hier habe ich nun eine Frage: Wie berechnet man dieses Quantil? Hier ist das ja immerhin eine stetige Funktion! Quantile hab ich bisher nur immer diskrete Verteilungen gerechnet! Wie geht das?
Edit: Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass ein 0,5-Quantil gleich dem Median der Verteilungsfunktion (ist es wirklich die Verteilungsfunktion oder doch die Dichtefunktion?) ist.
Ich hab dann noch weiter recherchiert und bin dann auf diesen Lösungsansatz gekommen:
[mm] $\frac12 [/mm] = [mm] -x^2+6x \Rightarrow -x^2+6x-\frac12 [/mm] = 0$
[mm] $x_{1/2} [/mm] = [mm] \frac{-6 \pm \sqrt{36-4(-1)\left(-\frac12\right)}}{2\left(-\frac12\right)} \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] 6-\sqrt{34}, x_2 [/mm] = [mm] 6+\sqrt{34}$
[/mm]
Soweit richtig? Welcher der zwei Werte ist nun das Quantil?
d)
Was muss man hier tun? Soll ich bei P(X=2,4) einfach in die Dichtefunktion von oben einsetzen? Wenn das stimmt was muss ich dann bei dem gegebenen Intervall $P(X [mm] \leq [/mm] 2,5 | X [mm] \geq [/mm] 2,2)$ tun?
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Hiho,
> [mm]F(x)=\int 0 dx = ... = 1[/mm]
> [mm]F(X) = \int -2x+6 dx = ... = -x^2+6x[/mm]
> [mm]F(X) = \int 0 dx = ... = 1[/mm]
>
> Soweit richtig?
Was machst du da überhaupt?
Seit wann kann 0 integriert 1 ergeben?
Nach deiner Aussage ist ja $1 = [mm] -x^2+6x$, [/mm] da ja alles identisch F(X) ist.
Was ist F(X) überhaupt? Eine Funktion F angewand auf die Zufallsvariable X ??
Wie du siehst, viele Fragen und viel Müll, was einfach nur davon kommt, wenn man Dinge einfach so kommentarlos irgendwo hinklatscht.
Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist EINE Funktion.
Schreibe doch mal bitte auf, wie die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable bei gegebener Dichte überhaupt definiert ist.
Dann sehen wir weiter.
>
> b)
>
> [mm]E(X) = \int_{-\infty}^{2} x \cdot f(x) dx = \int_{-\infty}^{2} x \cdot 0 = ... = 1[/mm]
>
> [mm]E(X) = \int_{2}^{3} x \cdot f(x) dx = \int_{2}^{3} x \cdot 6-x^2 = ... = \frac73[/mm]
>
> [mm]E(X) = \int_{3}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{3}^{+\infty} x \cdot 0 dx = ... = 1[/mm]
>
> [mm]Var(X) = \int_{-\infty}^3 (x-1)^2\cdot 0 dx = ... = 1[/mm]
>
> [mm]Var(X) = \int_{2}^3 (x-\frac73)^2\cdot (-2x+6) dx = ... = \frac{1}{18}[/mm]
>
> [mm]Var(X) = \int_3^{+\infty} (x-1)^2\cdot 0 dx = ... = 1[/mm]
>
> Soweit richtig?
Ist der gleiche, verzeih den Ausdruck, Mist, wie unter a).
Auch hier: Wie ist der Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen bei gegebener Dichte definiert?
Und da kommt jeweils nur ein Wert raus.
> Ich hab dann noch weiter recherchiert und bin dann auf
> diesen Lösungsansatz gekommen:
>
> [mm]\frac12 = -x^2+6x \Rightarrow -x^2+6x-\frac12 = 0[/mm]
> [mm]x_{1/2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4(-1)\left(-\frac12\right)}}{2\left(-\frac12\right)} \Rightarrow x_1 = 6-\sqrt{34}, x_2 = 6+\sqrt{34}[/mm]
Wie bist du auf den Lösungsansatz denn gekommen?
Sei $m [mm] \in \IR$ [/mm] der Median von X, was muss für den Median dann gelten?
Du erhälst zwei Ungleichungen, aus denen du m eindeutig bestimmen kannst unter Verwendung von a).
> d)
> Was muss man hier tun? Soll ich bei P(X=2,4) einfach in die Dichtefunktion von oben einsetzen?
Wieso solltest du in die Dichtefunktion einsetzen?
Was weißt du über die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Wert angenommen wird bei absolutstetigen Zufallsvariablen (d.h. Zufallsvariablen, die eine Verteilungsdichte besitzen).
Bedenke: [mm] $\IP(X [/mm] = y) = [mm] \IP(X\le [/mm] y) - [mm] \IP(X
In welchem Zusammenhang stehen [mm] $\IP(X\le [/mm] y)$ und [mm] $\IP(X
> was muss ich dann bei dem gegebenen Intervall [mm]P(X \leq 2,5 | X \geq 2,2)[/mm]
Das ist ja kein Intervall, das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Wie ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert?
Ich würde dir dringend empfehlen Grundlagen nachzuarbeiten!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Die Verteilungsfunktion ist definiert als das Integral über die (gegebene) Dichtefunktion. Die Dichtefunktion ist als f(x) gegeben. Wenn ich diese nun f(x) integriere, dann ergibt das nun mal F(x) und dann sollte klar sein, dass F(x) die Verteilungsfunktion ist.
Ein Integral über 0 ist natürlich 0. Da ist mir ein CopyPasteFehler unterlaufen. Sorry. Dann probieren wir es nochmal:
a)
[mm]F(X)=\int 0 dx = ... = 0[/mm]
[mm]F(X) = \int -2x+6 dx = ... = -x^2+6x[/mm]
[mm]F(X) = \int 0 dx = ... = 0[/mm]
b)
[mm]E(X) = \int_{-\infty}^{2} x \cdot f(x) dx = \int_{-\infty}^{2} x \cdot 0 = ... = 0[/mm]
[mm]E(X) = \int_{2}^{3} x \cdot f(x) dx = \int_{2}^{3} x \cdot 6-x^2 = ... = \frac73[/mm]
[mm]E(X) = \int_{3}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{3}^{+\infty} x \cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
[mm]Var(X) = \int_{-\infty}^3 (x-1)^2\cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
[mm]Var(X) = \int_{2}^3 (x-\frac73)^2\cdot (-2x+6) dx = ... = \frac{1}{18}[/mm]
[mm]Var(X) = \int_3^{+\infty} (x-1)^2\cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
c)
Sei $m [mm] \in \mathbb [/mm] R$ der Median von X, was muss für den Median dann gelten?
Du erhälst zwei Ungleichungen, aus denen du m eindeutig bestimmen kannst unter Verwendung von a).
Ich würd mich freun, wenn du noch genauer drauf eingehen könntest. Das hab ich nicht verstanden. Meinen Lösungsansatz hab ich übrigens von einer ähnlichen Aufgabenstellung im Internet gefunden.
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Hallo bandchef,
> Die Verteilungsfunktion ist definiert als das Integral
> über die (gegebene) Dichtefunktion. Die Dichtefunktion ist
> als f(x) gegeben. Wenn ich diese nun f(x) integriere, dann
> ergibt das nun mal F(x) und dann sollte klar sein, dass
> F(x) die Verteilungsfunktion ist.
>
> Ein Integral über 0 ist natürlich 0. Da ist mir ein
> CopyPasteFehler unterlaufen. Sorry. Dann probieren wir es
> nochmal:
>
>
>
> a)
> [mm]F(X)=\int 0 dx = ... = 0[/mm]
Insbesondere ist hier [mm]F\left(2\right)=0[/mm]
> [mm]F(X) = \int -2x+6 dx = ... = -x^2+6x[/mm]
Korrekterweise muss hier stehen:
[mm]F(X) = \int -2x+6 dx = ... = -x^2+6x\red{+C}[/mm]
Bestimme C so daß [mm]F(2) =0[/mm]
> [mm]F(X) = \int 0 dx = ... = 0[/mm]
>
>
>
> b)
> [mm]E(X) = \int_{-\infty}^{2} x \cdot f(x) dx = \int_{-\infty}^{2} x \cdot 0 = ... = 0[/mm]
>
> [mm]E(X) = \int_{2}^{3} x \cdot f(x) dx = \int_{2}^{3} x \cdot 6-x^2 = ... = \frac73[/mm]
>
> [mm]E(X) = \int_{3}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{3}^{+\infty} x \cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
>
> [mm]Var(X) = \int_{-\infty}^3 (x-1)^2\cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
>
> [mm]Var(X) = \int_{2}^3 (x-\frac73)^2\cdot (-2x+6) dx = ... = \frac{1}{18}[/mm]
>
> [mm]Var(X) = \int_3^{+\infty} (x-1)^2\cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
>
>
> c)
> Sei [mm]m \in \mathbb R[/mm] der Median von X, was muss für den
> Median dann gelten?
> Du erhälst zwei Ungleichungen, aus denen du m eindeutig
> bestimmen kannst unter Verwendung von a).
>
> Ich würd mich freun, wenn du noch genauer drauf eingehen
> könntest. Das hab ich nicht verstanden. Meinen
> Lösungsansatz hab ich übrigens von einer ähnlichen
> Aufgabenstellung im Internet gefunden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Also Leute, dann fang ich nochmal ausführlicher an:
Bei a) soll ich ja die Verteilungsfunktion berechnen:
$F(x) = [mm] \int [/mm] f(x) dx = [mm] \int [/mm] 6-2x dx = [mm] -x^2+6x+c$
[/mm]
> Bestimme C so daß $F(2) = 0$
Warum gerade in Abhängigkeit von 2 und gleich 0 die Integrationskonstante bestimmen? Hat das was mit der Untergrenze des gegebenen Intervalls von $2 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 3$ zu tun? Aber warum gerade die Untergrenze? Die Untergrenze des von 6-2x ist die Obergrenze von 0. Hat es damit zu tun?
$F(2) = 0$
[mm] $\Leftrightarrow -2^2+6\cdot [/mm] 2 + c = 0$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] c=-8$
[mm] $\Rightarrow [/mm] F(x) = [mm] -x^2+6x-8$
[/mm]
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Hallo bandchef,
> Also Leute, dann fang ich nochmal ausführlicher an:
>
> Bei a) soll ich ja die Verteilungsfunktion berechnen:
>
> [mm]F(x) = \int f(x) dx = \int 6-2x dx = -x^2+6x+c[/mm]
>
>
>
> > Bestimme C so daß [mm]F(2) = 0[/mm]
>
> Warum gerade in Abhängigkeit von 2 und gleich 0 die
> Integrationskonstante bestimmen? Hat das was mit der
>
Weil das Integral der Nullfunktion von 0 bis 2 gleich 0 ist.
Damit die Verteilungsfunktion stetig ist, muss [mm]F\left(2\right)=0[/mm] sein.
> [mm]F(2) = 0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow -2^2+6\cdot 2 + c = 0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow c=-8[/mm]
> [mm]\Rightarrow F(x) = -x^2+6x-8[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ah, ich verstehe. Die Bestimmung der Konstante c sollte nun so passen, oder?
Wie müsste die Konstante c bestimmt werden, wenn es keine 0 Funktion gibt? Sind bei solchen Aufgaben immer wenigstens eine 0 Funktion dabei? Wie müsste ich die Konstanten bestimmen, wenn die Dichtefunktion durch zwei "richtige" Funktionen gegeben ist? Integriere ich dann beide Funktionen unbestimmt und berechne ich dann bei beiden Funktionen die Konstanten mit den Werten der 0 Funktion?
Wie sieht es nun bei Teilaufgabe b) aus? Sind die Ergebnisse richtig?
$E(X) = [mm] \int_{-\infty}^{2} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{-\infty}^{2} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] 0 = ... = 1$
$E(X) = [mm] \int_{2}^{3} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{2}^{3} [/mm] x [mm] \cdot 6-x^2 [/mm] = ... = [mm] \frac73$ [/mm]
$E(X) = [mm] \int_{3}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{3}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] 0 dx = ... = 1$
$Var(X) = [mm] \int_{-\infty}^3 (x-1)^2\cdot [/mm] 0 dx = ... = 1$
$Var(X) = [mm] \int_{2}^3 (x-\frac73)^2\cdot [/mm] (-2x+6) dx = ... = [mm] \frac{1}{18}$ [/mm]
$Var(X) = [mm] \int_3^{+\infty} (x-1)^2\cdot [/mm] 0 dx = ... = 1$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Schade dass noch keiner geantwortet hat. Ist meine Rechnung so "fatal falsch", dass mir keiner das richtige Ergebnis mitteilen mag?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> [mm]E(X) = \int_{3}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{3}^{+\infty}\red{x \cdot 0} dx = ... = 1[/mm]
Wie kann hier Null resultieren?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Naja, die Funktion f(x) im Bereich [mm] $3\leq X\leq +\infty$ [/mm] ist doch 0, oder?
Was noch falsch ist sind die Grenzen des Integrals und das berechnete Ergebnis; Integral über 0 bleibt 0:
nicht so:
$ E(X) = [mm] \int_{3}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{3}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] 0 dx = ... = 1 $
sondern so:
$ E(X) = [mm] \int_{0}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{0}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] 0 dx = ... = 0 $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> sondern so:
> [mm]E(X) = \int_{0}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{+\infty} x \cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
Ja,ja! Erwartungswert und Varianz ist korrekt.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok 
Ich möchte nun nochmal kurz zusammenfassen:
a)
Die Verteilungsfunktion lautet [mm] $F(X)=-x^2+6x-8$ [/mm] Richtig?
Frage 1: Bei der unbestimmten Integration entsteht eine Konstante c die ich hier mit c=-8 berechnet habe, weil ich die (unbestimmt integriert) Funktion F(2)=0 berechnet habe. Mir ist aber immer noch nicht so ganz klar, warum gerade x=2 und das ganze gleich 0, auch wenn mir das ein anderes Mitglied schon versucht hat zu erklären...
b)
[mm]E(X) = \int_{-\infty}^{2} x \cdot f(x) dx = \int_{-\infty}^{2} x \cdot 0 = ... = 0[/mm]
[mm]E(X) = \int_{2}^{3} x \cdot f(x) dx = \int_{2}^{3} x \cdot 6-x^2 = ... = \frac73[/mm]
[mm]E(X) = \int_{3}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{3}^{+\infty} x \cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
[mm]Var(X) = \int_{-\infty}^2 (x-1)^2\cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
[mm]Var(X) = \int_{2}^3 (x-\frac73)^2\cdot (-2x+6) dx = ... = \frac{1}{18}[/mm]
[mm]Var(X) = \int_3^{+\infty} (x-1)^2\cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
Frage zu dieser Teilaufgabe: Ist es hier erforderlich Varianz und Erwartungswert für die 0-Funktionen zu berechnen? Die bleibt ja so und so 0. Was meinst du? Weitere Frage: Jedes Ergebnis richtig?
c) Ich habe mich mittlerweile eingehender im Internet und Vorlesung informiert und dabei darauf gestoßen, dass das 0,5-Quantil gleich dem Median ist. Deswegen dieser Lösungsweg:
[mm] $-x^2+6x-8=0,5$
[/mm]
Diese quadratische Funktion löse ich nun mit der quadratischen Lösungsformel und komme auf: [mm] $x_1 =\frac{6+\sqrt{2}}{2}$ [/mm] und [mm] $x_1 =\frac{6-\sqrt{2}}{2}$
[/mm]
Frage 1: Welcher der beiden Werte ist nun das 0,5-Quantil?
Frage 2: Was ist mit den 0-Funktionen?
Frage 3: Wie würde ich Quantile bei stetigen Funktionen berechnen die nicht gleich dem 0,5-Quantil sind? Wenn ich nun bspw. das 0,75 Quantil berechnen sollte, dann setze ich die Verteilungsfunktion einfach 0,75, oder wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ok
>
> Ich möchte nun nochmal kurz zusammenfassen:
>
> a)
> Die Verteilungsfunktion lautet [mm]F(X)=-x^2+6x-8[/mm] Richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
$ [mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 2\\ -x^2+6x-8, & \mbox{für } 2 \leq x \leq 3 \\ 1, & \mbox{für } x > 3\end{cases} [/mm] $.
Bitte unterscheide deutlicher zwischen $x$ und $X$.
>
> Frage 1: Bei der unbestimmten Integration entsteht eine
> Konstante c die ich hier mit c=-8 berechnet habe, weil ich
> die (unbestimmt integriert) Funktion F(2)=0 berechnet habe.
> Mir ist aber immer noch nicht so ganz klar, warum gerade
> x=2 und das ganze gleich 0, auch wenn mir das ein anderes
> Mitglied schon versucht hat zu erklären...
Weil [mm] $P(X\le 2)=\int_{-\infty}^2f(x)\,dx=0$ [/mm] und [mm] $P(X\le 3)=\int_{-\infty}^3f(x)\,dx=1$. [/mm] Damit ist $c$ eindeutig bestimmt.
>
>
> b)
> [mm]E(X) = \int_{-\infty}^{2} x \cdot f(x) dx = \int_{-\infty}^{2} x \cdot 0 = ... = 0[/mm]
>
> [mm]E(X) = \int_{2}^{3} x \cdot f(x) dx = \int_{2}^{3} x \cdot 6-x^2 = ... = \frac73[/mm]
>
> [mm]E(X) = \int_{3}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{3}^{+\infty} x \cdot 0 dx = ... = 0[/mm]
Was ist denn nun der Erwartungswert?
So musst du das schreiben:
$E(X) = [mm] \int_{-\infty}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx [mm] =\int_{-\infty}^{2} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) [mm] dx+\int_{2}^{3} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) [mm] dx+\int_{3}^{+\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) [mm] dx=0+\frac{7}{3}+0=\frac{7}{3}$.
[/mm]
Dito fuer die Varianz.
>
>
> c) Ich habe mich mittlerweile eingehender im Internet und
> Vorlesung informiert und dabei darauf gestoßen, dass das
> 0,5-Quantil gleich dem Median ist. Deswegen dieser
> Lösungsweg:
>
> [mm]-x^2+6x-8=0,5[/mm]
> Diese quadratische Funktion löse ich nun mit der
> quadratischen Lösungsformel und komme auf: [mm]x_1 =\frac{6+\sqrt{2}}{2}[/mm]
> und [mm]x_1 =\frac{6-\sqrt{2}}{2}[/mm]
>
> Frage 1: Welcher der beiden Werte ist nun das 0,5-Quantil?
Der zweite heisst vermutlich [mm] $x_2$. $x_1$ [/mm] kann's nicht sein, denn [mm] $F(x_1)=1$ [/mm] (s.o.),
>
> Frage 2: Was ist mit den 0-Funktionen?
Was soll damit sein?
>
> Frage 3: Wie würde ich Quantile bei stetigen Funktionen
> berechnen die nicht gleich dem 0,5-Quantil sind? Wenn ich
> nun bspw. das 0,75 Quantil berechnen sollte, dann setze ich
> die Verteilungsfunktion einfach 0,75
Ja.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Entschuldige bitte, aber jetzt verstehe ich gar nichts mehr. Warum ist anscheinend das Minus falsch?
Ich Integriere jetzt nochmal die Funktion:
$F(x) = [mm] \int [/mm] 6-2x dx = [mm] -2\cdot \frac12x [/mm] + 6x +c = [mm] -x^2+6x+c$
[/mm]
Richtig? Ich weiß nicht wie das Minus verschwinden sollte!
Nun nochmal zur Bestimmung der Konstante:
> Weil [mm] $P(X\le 2)=\int_{-\infty}^2f(x)\,dx=0$ [/mm] und [mm] $P(X\le 3)=\int_{-\infty}^3f(x)\,dx=1$. [/mm] Damit ist $c$ eindeutig bestimmt.
Das verstehe ich nicht. Warum integrierst du für die Konstante c einmal von [mm] -\infty [/mm] bis 2 und ein zweites Mal von [mm] -\infty [/mm] bis 3? Warum gerade diese Werte und über welche Funktion? Die 0-Funktion? Die "richtige Funktion"? Auch wenn jetzt c eindeutig bestimmt sein soll, hab ich keinen Wert gegeben der c repräsentiert...
Vielleicht kannst du noch genauer drauf eingehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Entschuldige bitte, aber jetzt verstehe ich gar nichts
> mehr. Warum ist anscheinend das Minus falsch?
>
> Ich Integriere jetzt nochmal die Funktion:
>
> [mm]F(x) = \int 6-2x dx = -2\cdot \frac12x + 6x +c = -x^2+6x+c[/mm]
>
> Richtig? Ich weiß nicht wie das Minus verschwinden
> sollte!
Bin ein Opfer von Copy-and-paste.
>
> Nun nochmal zur Bestimmung der Konstante:
>
> > Weil [mm]P(X\le 2)=\int_{-\infty}^2f(x)\,dx=0[/mm] und [mm]P(X\le 3)=\int_{-\infty}^3f(x)\,dx=1[/mm].
> Damit ist [mm]c[/mm] eindeutig bestimmt.
>
> Das verstehe ich nicht. Warum integrierst du für die
> Konstante c einmal von [mm]-\infty[/mm] bis 2
Stimmt, ist nicht noetig
> und ein zweites Mal
> von [mm]-\infty[/mm] bis 3? Warum gerade diese Werte und über
> welche Funktion?
Na uber $f$. Die Flaeche darunter ist 1. Da $f$ nur in $[2,3]$ interessant ist, folgt
[mm] $1=F(3)=-3^2+6\cdot [/mm] 3+c [mm] \Rightarrow [/mm] c=-8$.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke! Jetzt komm ich auch mit. Hab grad wirklich mal kurzzeitig an mir selbst gezweifelt!!!
Ich schreib jetzt dann nochmal ausführlich die Teilaufgabe c) in eine neue Frage!
Bis gleich
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mi 16.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Eine stetige Zufallsvariable X besitzt die Dichtefunktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 2\\
6-x^2, & \mbox{für } 2 \leq X \leq 3 \\
0, & \mbox{für } x > 3\end{cases}[/mm]
>
Das bezweifele ich. Ich habe noch von keiner Dichtefunktion gehört, die in Teilen ihres Definitionsbereichs (hier konkret von [mm]\sqrt6[/mm] bis 3) negative Werte annimmt.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Entschuldigung. Fehler in der Angabe :-( Darum kommen wir alle nicht zusammen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Teilaufgabe c)
Berechne 0,5-Quantil:
[mm] $-x^2+6x-8=0,5 \Leftrightarrow -x^2+6x-8,5 [/mm] = 0$
Diese quadratische Funktion löse ich nun mit der quadratischen Lösungsformel und komme auf:
[mm] $x_1 =\frac{6+\sqrt{2}}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2 =\frac{6-\sqrt{2}}{2}$
[/mm]
Welcher Wert davon gibt mir nun das 0,5-Quantil an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Teilaufgabe c)
>
> Berechne 0,5-Quantil:
Genauer: Bestimme 0,5-Quantil [mm] $x_{0.5} [/mm] mit [mm] $F(x_{0.5})=0.5$.
[/mm]
>
> [mm]-x^2+6x-8=0,5 \Leftrightarrow -x^2+6x-8,5 = 0[/mm]
> Diese quadratische Funktion löse ich nun mit der
> quadratischen Lösungsformel und komme auf:
> [mm]x_1 =\frac{6+\sqrt{2}}{2}[/mm] und [mm]x_2 =\frac{6-\sqrt{2}}{2}[/mm]
>
> Welcher Wert davon gibt mir nun das 0,5-Quantil an?
Ansatz:
[mm]-x^2+6x-8=0,5 \Leftrightarrow -x^2+6x-8,5 = 0[/mm]
liefert zwei Loesungen, naemlich [mm]x_1 =\frac{6+\sqrt{2}}{2}[/mm] und [mm]x_2 =\frac{6-\sqrt{2}}{2}[/mm], fuer die gilt [mm] $F(x_1)=1$ [/mm] und [mm] $F(x_2)=0.5$. [/mm]
Also ist [mm] $x_{0.5}=x_2=\frac{6-\sqrt{2}}{2}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Noch kurz zum Quantil:
Ahja. Jetzt verstehe ich das auch. [mm] F(x_1) [/mm] = 1 ist uninteressant. Wichtig ist also dann der Wert der im Intervall 0<X<1 liegt.
Edit: Wenn ich die [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_2 [/mm] in die Verteilungsfunktion einsetze bekomm ich bei beiden [mm] \frac12 [/mm] ! Was ist da jetzt wieder los?
[mm] $F(x_1) [/mm] = [mm] -\left(\frac{6+\sqrt{2}}{2}\right)^2+6\cdot\left(\frac{6+\sqrt{2}}{2}\right)-8 [/mm] = [mm] \frac12$
[/mm]
[mm] $F(x_2) [/mm] = [mm] -\left(\frac{6-\sqrt{2}}{2}\right)^2+6\cdot\left(\frac{6-\sqrt{2}}{2}\right)-8 [/mm] = [mm] \frac12$
[/mm]
Teilaufgabe d)
$P(2,2 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 2,5) = F(2,5) - F(2,5) = ... [mm] \Rightarrow 39\%$
[/mm]
$P(X=2,4) = F(2,4) - F(2,4) = ... = 0$
Richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Jetzt denk ich hab ich verstanden:
[mm] $x_1 \approx [/mm] 3,71$ und das liegt außerhalb meinem relevanten Intervall von $2 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 3$. Hingegen [mm] $x_2 \approx [/mm] 2,293$ liegt in $2 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 3$.
Womit nun [mm] $x_{0,5}=F(x_2)$ [/mm] gilt.
Richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Warum der Daumen nach unten? Was du mir hier "ankreidest" hab ich ja gar nicht in meiner letzten Antwort geschrieben, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Do 17.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Zitat von dir:
> Womit nun $ [mm] x_{0,5}=F(x_2) [/mm] $ gilt.
Das ist falsch.Es muss korrekt heissen $ [mm] x_{0.5}=x_2$, [/mm] denn
[mm] $x_{0.5} \approx 2.293\ne0.5=F(x_2)$.
[/mm]
vg Luis
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