Verteilungsfunktion berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Laeufer1 |
| Aufgabe | Seien x, y unabhängige Zufallsvariablen mit Binomialverteilung mit Parametern (n1,p) bzw. (n2,p).
Man berechne die Verteilung von x unter der Bedingung x +y = n
Bezüglich dieser bedingten Verteilung berechne man den Erwartungswert von x. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ;) Ich könnte eure Hilfe gebrauchen!
Dass es sich bei dieser Aufgabenstellung um eine Faltung handelt ist mir schon klar, aber wie ich darin die Bedingung x+y = n einfließen lassen kann ist mir nicht ganz klar. Ich habs aber mal versucht:
P (x + y = n) = P (x = n - y) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] p ( x = n - y)
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n1\\ n -y} p^{n-y} (1-p)^{n1-(n-y)}
[/mm]
Ist das richtig was ich da gemacht habe? Dann könnte ich nämlich weiter mit dem Erwartungswert machen. Bin mir aber extrem unsicher!
Bin dankbar für jeden Tipp den ihr mir geben könnt!
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Blech |
1. Schreib das ganze nochmal hin, aber mach klar, was eine Zufallsvariable (X) und was eine Ausprägung (x) ist. Eins von beiden ist zufällig, das andere ist eine feste Zahl. Und Du würfelst wild durcheinander. =)
2. Der Summationsindex i taucht nirgends in Deinen Termen auf.
3.
> Man berechne die Verteilung von x unter der Bedingung x +y = n
d.h. gesucht ist $P(X=i\ |\ [mm] X+Y=n),\quad i=0,\ldots, n_1$. [/mm] Jetzt verwendest Du die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und den Satz von der Totalen Wahrscheinlichkeit, um das in bekannte Größen umzurechnen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 15.05.2011 | | Autor: | Laeufer1 |
Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort Stefan! Hab sie auch versucht umzusetzten. Jetzt kommt bei mir allerdings keine Funktion raus, sondern das sichere Ereignis.
$ P(X=i\ |\ [mm] X+Y=n),\quad i=0,\ldots, n_1 [/mm] $
= [mm] $\bruch{ P(X=i \cap\ X+Y=n)}{ P( X+Y=n)},\quad i=0,\ldots, n_1 [/mm] $
= [mm] $\bruch{ P(\ X+Y=n|X=i\ )P( X= i)}{ P( X+Y=n)}\quad i=0,\ldots, n_1 [/mm] $
Wenn ich aber hier nun die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit anwende, kommt 1 raus.
= [mm] $\bruch{ P( X+Y=n)}{ P( X+Y=n)} [/mm] = 1
Dies ist ja auch klar, weil ich über alle möglichen Ereigniss aufaddiere. Was mache ich also falsch? Ich will ja eine Funktion mit i rausbekommen, wenn ich das richtig verstehe.
Schon mal vielen Dank!
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 15.05.2011 | | Autor: | Blech |
> Wenn ich aber hier nun die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit anwende, kommt 1 raus.
Das Gleichheitszeichen stimmt nicht, dafür müßtest Du über alle i summieren:
[mm] $P(A)=\sum_{B_i} [/mm] P(A\ |\ [mm] B_i)P(B_i)$
[/mm]
Wenn Du über alle i aufsummierst, kommt klarerweise 1 raus. Damit kannst Du aber schonmal sicher sein, daß Dein Ergebnis eine Zähldichte ist. =)
Schau Dir stattdessen Deinen Term mal im einzelnen an:
> $ [mm] \bruch{ P(\ X+Y=n|X=i\ )P( X= i)}{ P( X+Y=n)}\quad i=0,\ldots, n_1 [/mm] $
$P( X+Y=n\ |\ [mm] X=i)=\ldots$
[/mm]
[mm] $P(X=i)=\ldots$
[/mm]
[mm] $P(X+Y=n)=\ldots$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 So 15.05.2011 | | Autor: | Laeufer1 |
Erst mal vielen Dank für die Antwort. Hab mal versucht deine Vorschläge umzusetzen, hab allerdings schon wieder ne Frage bezüglich des Terms mit dem geschnitten Zeichen.
$ P(X+Y=n)= [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n_1 + n_2\\ n} p^{n} (1-p)^{n_1 +n_2 - n}$
[/mm]
$ P(X=i)= [mm] \vektor{n_1 \\ i} [/mm] p{^i} [mm] (1-p)^{n_1-i}$
[/mm]
$ P( X+Y=n\ |\ [mm] X=i)=\summe_{i=1}^{n}\vektor{n_1 + n_2\\ n} p^{n} (1-p)^{n_1 +n_2 - n}\cap\vektor{n_1 \\ i} p^{i} (1-p)^{n_1-i}* \bruch{1}{\vektor{n_1 \\ i} p^{^i} (1-p)^{n_1-i}}$ [/mm]
also folgt
[mm] $\bruch{\summe_{i=1}^{n}\vektor{n_1 + n_2\\ n} p^{n} (1-p)^{n_1 +n_2 - n}\cap\vektor{n_1 \\ i} p^{i} (1-p)^{n_1-i}}{\summe_{i=1}^{n}\vektor{n_1 + n_2\\ n} p^{n} (1-p)^{n_1 +n_2 - n}}$
[/mm]
hier weiß ich leider nicht recht weiter, das geschnitten Zeichen verwirrt mich. Kann ich dort jetzt irgendwie etwas umwandeln?
Ganz lieben Dank für deine Bemühungen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ P(X=i)= [mm] \vektor{n_1 \\ i} [/mm] p{^i} [mm] (1-p)^{n_1-i}$ [/mm]
Das ist richtig.
> $ P( X+Y=n\ |\ X=i)$
Du willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, daß X+Y=n ist. Du weißt, daß X=i ist, also geht es nur darum wie wahrscheinlich es ist, daß Y=...
> hier weiß ich leider nicht recht weiter, das geschnitten Zeichen verwirrt mich.
Mich auch, weil ich nicht verstehe, wo das plötzlich herkommen soll. Du kannst zwei Zahlen nicht schneiden. =)
> $ P(X+Y=n)= [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n_1 + n_2\\ n} p^{n} (1-p)^{n_1 +n_2 - n}$ [/mm]
Wo kommt die Summe her?
ciao
Stefan
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Danke Stefan für deine erneute Hilfe, ich habs jetzt endlich rausbekommen! Ich hätte da allerdings noch einmal eine Frage bezüglich des Anfangs meiner Berechnung. Warum habe ich P( X=i|X+Y=n) berechnet und nicht P(X=<i|X+Y=n ) wie sonst auch immer bei Verteilungsfunktionen. Warum reicht hier das Gleichheitszeichen aus?
Beste Grüße
$ [mm] \bruch{ P(\ X+Y=n|X=i\ )P( X= i)}{ P( X+Y=n)}\quad i=0,\ldots, n_1 [/mm] $
[mm] =\bruch{ \vektor{n_2 \\ n-i}* p^{n-i}* (1-p)^{n_2-n+i}*\vektor{n_1\\ i}* p^{i}*(1-p)^{n_1-i}}{\vektor{n_1 + n_2 \\ n}*p^{n}*(1-p)^{n_1+n_2-n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\vektor{n_2 \\ n-i}\vektor{n_1 \\ i}}{\vektor{n_1+n_2\\ n}}
[/mm]
Es kommt also die Hypergeometrische Verteilung als Verteilungsfunktion raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 19.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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