Verteilungsfunktion umkehrbar? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich habe hier eine Aufgabenstellung
"X ist eine Zufallsvariable und gleichmäßig verteilt in [0,1].
Y = X².
Verteilungsfunktion von Y bestimmen !"
Wenn eine Funktion umkehrbar ist zB X³ wäre es kein Problem,
dann würde man die Umkehrfunktion bestimmen und hätte die Vtl-Fkt von Y.
Zwar ist X² als ganzes gesehen natürlich nicht umkehrbar.
Die Verteilungsfuntion der gleichm. Vtl. ist ja von - [mm] \infty [/mm] bis + [mm] \infty
[/mm]
definiert. D.h man könnte -3 oder -2 einsetzen ( was zwar immer 0 ergibt). Da X aber praktisch doch nur Werte zwischen
0 und 1 ("glm. vtl. in [0,1]") annimmt, könnte man X² dann doch umkehren ?
gruß ,
norbert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Norbert!
Du hast schon völlig recht mit der Umkehrbarkeit. Da $X$ nur Werte in $[0,1]$ annimmt und die Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] dort umkehrbar ist, geht die Aufgabe ganz leicht, und zwar wie folgt:
Für die Verteilungsfunktion [mm] $F_Y$ [/mm] von [mm] $Y=X^2$ [/mm] gilt wegen [mm] $F_X(x)=x$ ($F_X$ [/mm] sei die Verteilungsfunktion $X$) für alle $y [mm] \in [/mm] [0,1]$:
[mm] $F_Y(y)$
[/mm]
$= [mm] F_{X^2}(y)$
[/mm]
[mm] $=P(X^2 \le [/mm] y)$
$= P(X [mm] \le \sqrt{y})$
[/mm]
[mm] $=F_X(\sqrt{y})$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{y}$.
[/mm]
(Eventuell sind bei dir meine [mm] $\le$'s [/mm] durch $<$'s zu ersetzen; das hängt davon ab, wie ihr die Verteilungsfunktion definiert habt.)
Viele Grüße
Stefan
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hallo Stefan,
ich nehme dann mal an, dass man jede Funktion Y= X² einer Zufallsvariable X mit beliebiger Vtl-Fkt. , welche für x<0 0 ist, umkehren
kann , also zB. falls X exponentialverteilt ist, oder ?
So werden möglicherweise einige in der übermorgigen Klausur
die Begründung meines Profs in folgendem Fall :
"X ist standardnormalverteilt. Finde Vtl--Fkt von Y = X².
'Das geht nicht mit der bisherigen Methode(der Umkehrung),
denn Y = X² ist keine umkehrbare Funktion' "
verwechseln (wie ich zuerst auch) mit
'denn f(x)= x² ist keine umkehrbare Funktion'.
gruß,
Norbert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Norbert!
Halt, Vorsicht!
Das hängt immer vom Wertebereich der Zufallsvariablen ab.
Ist (wie vorhin) $X$ gleichverteilt auf $[0,1]$, dann kann man das Verfahren wie von mir angedeutet so durchziehen, weil die Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] dort umkehrbar st.
Ist allerdings $X$ normalverteilt, dann hat $X$ den Wertebereich [mm] $\IR$. [/mm] In diesem Fall kann man nicht so vorgehen, da hat der Prof Recht, da [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] dort nicht umkehrbar ist.
Oder meintest du das? Dann hättest du Recht gehabt. 
Viele Grüße
Stefan
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hallo Stefan,
ich meinte nur dass es nicht das gleiche ist wenn man sagt
"Y = X² ist nicht umkehrbar" , wobei X Zuf.-Var. mit std-normal-vtl ist, und
"y = x² ist nicht umkehrbar " , ohne weitere Erläuterung.
Ein bisschen finde ich es allerdings schon verwirrend, dass X, wenn es glm. verteilt in [0,1] ist, zwar nur Werte in [0,1] annimmt, aber die Verteilunsfunktion von X ja auch Werte für x ausserhalb [0,1] zulässt , deren Funktionswerte zwar dann nur entweder 0 oder 1 sind, aber sie lässt sie eben zu.
D.h. also : X oder X² mit X als Zuf.-Var. mit glm. vtl. in [0,1] ist umkehrbar, aber die Vtl-fkt von X F(x) bzw (F(x)) ² nicht ?
gruß
Norbert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Norbert!
Wenn ihr die Verteilungsfunktion immer so definiert habt, dass sie von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] gehen muss, dann ergeben sich diese Überlegungen, klar.
Das ist aber nicht zwangsläufig so. Sinnvoller ist es natürlich, die Verteilungsfunktion von vorneherein auf den Bildbereich der Zufallsvariablen $X$ einzuschränken, wie das zumeist auch gemacht wird.
Naja, da ihr es anders gemacht habt, musst du mit diesen seltsamen Dingen jetzt leider klarkommen...
Viele Grüße
Stefan
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Gibt es dann eigentlich eine allgemeine formel für eine Transformation
einer Verteilung wennn die Umkehrfkt. in dem gewünschten Inervall nicht bildbar ist ?
Ich habe in einigen Statistik Büchern gesucht aber nichts passendes gefunden.
In der VL hatten wir nur die Transformationsformel für den Fall Y= X² :
G(y) = P(Y<=y) = P(X²<=y) = P(- [mm] \wurzel{y}<= [/mm] X <= [mm] \wurzel{y} [/mm] ) **
=> G(y) = F( [mm] \wurzel{y} [/mm] ) - F(- [mm] \wurzel{y} [/mm] ), y>= 0
Was aber wenn Y = X² +X +2 : Dannn kann man es nicht so einfach umformen, dass X allein in der mitte** steht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Norbert!
Ein Patentrezept gibt es dann nicht, nein!
In dem von dir genannten Fall kann man so rechnen:
Für $y [mm] \ge \frac{7}{4}$ [/mm] gilt:
[mm] $F_Y(y)$
[/mm]
[mm] $P(X^2 [/mm] + X + 2 [mm] \le [/mm] y)$
$= [mm] P\left( \left(X+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} \le y\right)$
[/mm]
$= [mm] P\left(\left(X + \frac{1}{2}\right)^2 \le y - \frac{7}{4}\right)$
[/mm]
$= [mm] P\left(-y + \frac{7}{4} - \frac{1}{2} \le X \le y - \frac{7}{4} - \frac{1}{2}\right)$
[/mm]
$= [mm] P\left(-y + \frac{5}{4} \le X \le y - \frac{9}{4}\right)$
[/mm]
$= [mm] F_X\left(y - \frac{9}{4}\right) [/mm] - [mm] F_X\left(-y + \frac{5}{4}\right)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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