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Hallo!
Ich hab irgendwie Probleme mit den Verteilungsfunktionen. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen? Ich soll folgende Aufgaben lösen:
1.) Sei F: x->Q(]- [mm] \infty [/mm] ,x[) die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes [mm] \mu [/mm] auf ( [mm] \IR [/mm] ,B). Stellen sie für a,b [mm] \in \IR, [/mm] a [mm] \le [/mm] b
Q(]- [mm] \infty [/mm] ,b]) , Q([a,b[), Q(]a,b[), Q(]a,b]), Q([a,b]), Q([a, [mm] \infty[), [/mm] Q(]a, [mm] \infty[), [/mm] Q({a})
durch F dar und beweisen sie diese Darstellung stellvertretend für Q([a,b]).
2.) F sei Vertelungsfunktion auf ( [mm] \IR [/mm] ,B). Zeige: Es gibt eindeutige Verteilungsfunktionen [mm] F_{s} [/mm] , [mm] F_{d} [/mm] und eindeutiges [mm] \alpha \in [/mm] [0,1], so dass F=(1- [mm] \alpha)*F_{s}+\alpha*F_{d}
[/mm]
und [mm] F_{s} [/mm] stetig sowie [mm] F_{d} [/mm] diskret ist.
Bei der ersten Aufgabe habe ich hinbekommen, dass Q([a,b[) darstellbar ist durch F(b)-F(a). Aber bei den anderen weiß ich einfach nicht weiter. Und bei der 2. habe ich gar keinen Durchblick.
Wäre supi, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke, Jacky
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Jacky!
Zur ersten Aufgabe:
Man geht die so an:
Aus
$F(x) = Q(]- \infty,x[)$
folgt:
$Q(]-\infty,b]) = \lim\limits_{n \to \infty} Q(}-\infty,b + \frac{1}{n}]) = \lim\limits_{n \to \infty} f(b+ \frac{1}{n}) = F(b+)$,
$Q([a,b[) = Q(]-\infty,b[) - Q(]-\infty,a[) = F(b) - F(a)$,
$Q(]a,b[) = Q(]-\infty,b[) - Q(]-\infty,a]) = F(b) - \lim\limits_{n \to \infty} F(a + \frac{1}{n}) = F(b) - F(a+)$,
usw.
Zur zweiten Aufgabe:
Es gilt:
$F(x) = F(x+) - (F(x+)-F(x))$.
Die Funktion $x \mapsto F(x+)$ ist monoton wachsend und stetig (da $F$ linksseitig stetig war), die Funktion $x \mapsto F(x+) - F(x)$ monoton wachsend und diskret (dies sind gerade die (abzählbaren!) Sprungstellen von $F$).
Es sei
$\lim\limits_{x \to \infty} F(x+) = \alpha$.
Dann ist
$F_d = \frac{F(x+)}{\alpha}$
eine stetige Verteilungsfunktion und wegen
$\lim\limits_{x \to \infty} (F(x+) - F(x)) = \alpha - 1$
ist
$F_s = \frac{F(x+)-F(x)}{\alpha-1}$
eine diskrete Verteilungsfunktion.
Liebe Grüße
Stefan
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