Verteilungskonvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] (X_i)_{i\ge1} [/mm] eine folge von unabhängigen, identisch verteilten ZV'en mit Werten in einem Intervall I [mm] \subset \IR [/mm] und existierender Varianz [mm] \sigma^2=Var(X_1)>0. [/mm] Sei [mm] \mu =E(X_1), \overline{X}_n=n^{-1}\summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] und [mm] f:I-\IR [/mm] eine zweimal stetig diffbare Fkt. mit [mm] f'(\mu)\not=0 [/mm] und beschränktem f''.
Zeigen Sie für [mm] n->\infty:
[/mm]
[mm] S_n:=\bruch{\sqrt(n)/\sigma}{f'(\mu)} \{f(\overline{X}_n)-f(\mu) \}->N(0,1) [/mm]
konvergiert in Verteilung. |
Ich habe dazu zunächst einmal zwei konkrete Fragen:
1) wir haben Konvergenz in Verteilung für ZV'en definiert. Hier ist doch aber mit N(0,1) die standardnormalverteilung gemeint. Wie habe ich das zu verstehen?
2) Ich verstehe diese Folge [mm] S_n [/mm] nicht so genau. Vermutlich sind diese [mm] S_n [/mm] ZV'en. Aber was bedeutet diese Schreibweise: [mm] \{ f(\overline{X}_n)-f(\mu) \}? [/mm] Wie sind die Vorschriften für [mm] S_n [/mm] also?
Liebe Grüße
raubkatzchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Fr 25.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien [mm](X_i)_{i\ge1}[/mm] eine folge von unabhängigen, identisch
> verteilten ZV'en mit Werten in einem Intervall I [mm]\subset \IR[/mm]
> und existierender Varianz [mm]\sigma^2=Var(X_1)>0.[/mm] Sei [mm]\mu =E(X_1), \overline{X}_n=n^{-1}\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm]
> und [mm]f:I-\IR[/mm] eine zweimal stetig diffbare Fkt. mit
> [mm]f'(\mu)\not=0[/mm] und beschränktem f''.
> Zeigen Sie für [mm]n->\infty:[/mm]
>
> [mm]S_n:=\bruch{\sqrt(n)/\sigma}{f'(\mu)} \{f(\overline{X}_n)-f(\mu) \}->N(0,1)[/mm]
> konvergiert in Verteilung.
> Ich habe dazu zunächst einmal zwei konkrete Fragen:
>
> 1) wir haben Konvergenz in Verteilung für ZV'en definiert.
> Hier ist doch aber mit N(0,1) die standardnormalverteilung
> gemeint. Wie habe ich das zu verstehen?
Schwache Konvergenz
- für Maße:
[mm] \integral fd\mu_n\to\integral fd\mu [/mm] für alle beschränkten stetigen f.
- für ZVn (heißt dann in Verteilung): Die Bildmaße der [mm] X_n [/mm] konvergieren schwach gegen das von X.
Äquivalent ist dazu die punktweise Konvergenz der Verteilungsfunktionen der [mm] X_n [/mm] in den Stetigkeitspunkten der Verteilungsfunktion von X.
>
> 2) Ich verstehe diese Folge [mm]S_n[/mm] nicht so genau. Vermutlich
> sind diese [mm]S_n[/mm] ZV'en. Aber was bedeutet diese Schreibweise:
Ja, die [mm] S_N [/mm] sind ZVn.
> [mm]\{ f(\overline{X}_n)-f(\mu) \}?[/mm] Wie sind die Vorschriften
> für [mm]S_n[/mm] also?
[mm] S_n(\omega):=\bruch{\sqrt(n)/\sigma}{f'(\mu)} \{f(\overline{X}_n(\omega))-f(\mu) \}
[/mm]
LG
gfm
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe verstanden, dass Konvergenz in Verteilung äquivalent zur Punktweisen Konvergenz der Verteilungsfunktionen an den stetigkeitsstellen ist.
Dazu habe ich aber nochmal 2 Fragen:
1) Bei der Aussage über Konvergenz steht auf der "linken" seite eine Folge von ZV'en, und diese soll gegen die Normalverteilung konvergieren? Das verstehe ich nicht. Wie kann das sein?
Das würde doch weder der punktweisen Konvergenz, noch der konvergenz in verteilung entsprechen.(also nach definition)
2)In der definition der [mm] S_N [/mm] sind geschweifte klammern gesetzt. Kann ich diese Behandeln wie "runde klammern" also (...).
Gilt z.B.:
[mm] S_n(\omega):=\bruch{\sqrt(n)/\sigma}{f'(\mu)} \{f(\overline{X}_n(\omega))-f(\mu) \}=\bruch{\sqrt(n)/\sigma}{f'(\mu)} f(\overline{X}_n(\omega)) [/mm] - [mm] \bruch{\sqrt(n)/\sigma}{f'(\mu)}f(\mu)
[/mm]
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Fr 25.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Ich habe verstanden, dass Konvergenz in Verteilung
> äquivalent zur Punktweisen Konvergenz der
> Verteilungsfunktionen an den stetigkeitsstellen ist.
> Dazu habe ich aber nochmal 2 Fragen:
>
> 1) Bei der Aussage über Konvergenz steht auf der "linken"
> seite eine Folge von ZV'en, und diese soll gegen die
> Normalverteilung konvergieren? Das verstehe ich nicht. Wie
> kann das sein?
Das ist nur die Schreibweise. [mm] X_n\to\mathcal{N}(0,1) [/mm] (in Verteilung) heißt nur, dass es ein entsprechend [mm]\mathcal{N}(0,1)[/mm]-verteiltes X gibt, so dass die Bildmaße der [mm] X_n [/mm] schwach gegen das Bildmaß von X konvergiert (oder das entsprechende für die Verteilungsfunktionen).
> 2)In der definition der [mm]S_N[/mm] sind geschweifte klammern
> gesetzt. Kann ich diese Behandeln wie "runde klammern" also
> (...).
> Gilt z.B.:
>
> [mm]S_n(\omega):=\bruch{\sqrt(n)/\sigma}{f'(\mu)} \{f(\overline{X}_n(\omega))-f(\mu) \}=\bruch{\sqrt(n)/\sigma}{f'(\mu)} f(\overline{X}_n(\omega))[/mm]
> - [mm]\bruch{\sqrt(n)/\sigma}{f'(\mu)}f(\mu)[/mm]
Ja. Das ist nur ein ganz normales Klammerpaar um die arithmetische Operatorpräzedenz zu durchbrechen.
LG
gfm
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So ich hatte nun endlich wieder die Zeit mir diese Aufgabe anzusehen:
Also uns wurde der Hinweis gegeben, zunächst f in ein Taylor-Polynom zu entwickeln um den Punkt [mm] \mu. [/mm] Das Das Restglied dann mit der Tschebychev Ungleichung abzuschätzen.
Zunächst die Taylor entwicklung:
[mm] f(x)=f(\mu)+f'(\mu)*(x-\mu)+R_2(x), [/mm] mit
[mm] R_2(x)=\integral_{\mu}^{x}{(x-t)f''(x) dt}.
[/mm]
Ich sehe aber nicht, warum man tschebyschev hier anwenden kann.
Tschebyschev sagt doch: [mm] P[\left| X \right| \ge \alpha] \le E[\left| X \right|^2]/\alpha^2
[/mm]
Ist denn dieses [mm] R_2 [/mm] die Verteilung einer ZV'en oder der Erwartungswert einer ZV'en??
Entschuldigt ich bin etwas verwirrt.
Liebe Grüße
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Hat denn keiner eine Idee, wie man diese Aussage beweisen kann?
Also ich weiss echt nicht, wie sich der Aufgabensteller dies vorgestellt hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mo 28.06.2010 | | Autor: | gfm |
> So ich hatte nun endlich wieder die Zeit mir diese Aufgabe
> anzusehen:
>
> Also uns wurde der Hinweis gegeben, zunächst f in ein
> Taylor-Polynom zu entwickeln um den Punkt [mm]\mu.[/mm] Das Das
> Restglied dann mit der Tschebychev Ungleichung
> abzuschätzen.
>
> Zunächst die Taylor entwicklung:
> [mm]f(x)=f(\mu)+f'(\mu)*(x-\mu)+R_2(x),[/mm] mit
>
> [mm]R_2(x)=\integral_{\mu}^{x}{(x-t)f''(x) dt}.[/mm]
>
> Ich sehe aber nicht, warum man tschebyschev hier anwenden
> kann.
> Tschebyschev sagt doch: [mm]P[\left| X \right| \ge \alpha] \le E[\left| X \right|^2]/\alpha^2[/mm]
>
> Ist denn dieses [mm]R_2[/mm] die Verteilung einer ZV'en oder der
> Erwartungswert einer ZV'en??
> Entschuldigt ich bin etwas verwirrt.
>
> Liebe Grüße
Per Def.:
[mm] S_n(\omega):=\frac{\wurzel{n}\sigma}{f'(\mu)}\Left(f(\overline{X}_n(\omega))-f(\mu)\Right)
[/mm]
Taylor:
[mm] f(\overline{X}_n(\omega))=f(\mu)+f'(\mu)\Left(\overline{X}_n(\omega)-\mu\Right)+R_1^f(\mu,\overline{X}_n(\omega))
[/mm]
Dann ist
[mm] S_n(\omega)=\wurzel{n}\sigma(\overline{X}_n(\omega)-\mu)+\frac{\wurzel{n}\sigma}{f'(\mu)}R_1^f(\mu,\overline{X}_n(\omega))
[/mm]
mit
[mm] R_1^f(\mu,\overline{X}_n(\omega))=1/2 \integral_\mu^{\overline{X}_n(\omega)}(\overline{X}_n(\omega)-t)f''(t)dt
[/mm]
LG
gfm
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