Verteilungsprobleme < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 20.01.2011 | | Autor: | janisE |
| Aufgabe | a) Gegeben sie eine standardnormalverteilte ZV [mm] X \sim \mathcal{N}(0,1) [/mm]. Zeigen Sie: Für [mm] \mu \in \IR [/mm] und [mm] \sigma > 0[/mm] gilt: [mm] \sigma X + \mu \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) [/mm]
b) Gegeben seien n unabhängig Poission(1)-verteilte ZV [mm] X_1,\cdots,X_n [/mm]. Bestimmen Sie die Verteilung von [mm]X_1 + X_2 + \cdots + X_n [/mm] |
Hallo!
Zu a)
Mir ist zwar klar, was gefragt ist - aber wie soll man das zeigen? Anhand der Definition hätte ich:
[mm]\sigma \left( \frac {1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac {1}{2} x^2\right) \right) + \mu = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)[/mm]
ist das richtig?
Zu b)
[mm]P(X_1+X_2=n) =\sum_{k=0}^n P(X_1=k) \, P(X_2=n-k)\\
=\sum_{k=0}^n \frac{\lambda_1^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda_1} \, \frac{\lambda_2^{n-k}}{(n-k)!} \,\mathrm{e}^{-\lambda_2}\\
=\frac{1}{n!}\, \mathrm{e}^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \, \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \lambda_1^k \, \lambda_2^{n-k}=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^n}{n!} \, \mathrm{e}^{-(\lambda_1+\lambda_2)} [/mm]
dies rekursiv angewandt zeigt, dass [mm] X_1 + X_2 + \cdots + X_n [/mm] ebenfall Poisson verteilt ist, richtig?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Do 20.01.2011 | | Autor: | dormant |
Hi!
> a) Gegeben sie eine standardnormalverteilte ZV [mm]X \sim \mathcal{N}(0,1) [/mm].
> Zeigen Sie: Für [mm]\mu \in \IR[/mm] und [mm]\sigma > 0[/mm] gilt: [mm]\sigma X + \mu \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm]
>
> b) Gegeben seien n unabhängig Poission(1)-verteilte ZV
> [mm]X_1,\cdots,X_n [/mm]. Bestimmen Sie die Verteilung von [mm]X_1 + X_2 + \cdots + X_n[/mm]
>
>
> Hallo!
>
> Zu a)
>
> Mir ist zwar klar, was gefragt ist - aber wie soll man das
> zeigen? Anhand der Definition hätte ich:
>
> [mm]\sigma \left( \frac {1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac {1}{2} x^2\right) \right) + \mu = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)[/mm]
So geschrieben ist das noch nichts. Die Aussage zeigst du indem du die Verteilungsfunktion von [mm]\sigma X + \mu [/mm] ausrechnest und dann diese mit [mm] \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm] vergleichst (oder noch schneller über die charakteristische Funktionen, falls dir das etwas sagt). Wenn die übereinstimmen, so ist die Aussage richtig.
Dazu fängst du so an:
[mm] \IP (\sigma X + \mu \le t) = \IP (X \le \bruch{t-\mu}{\sigma}) = \int_{-\infty}^{\bruch{t-\mu}{\sigma}} \phi (u) du = \cdots [/mm] und mit einer Substitution, so dass du bis [mm] t [/mm] integrierst kriegst du Verteilungsfunktion von [mm] \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm] .
>
> ist das richtig?
>
> Zu b)
>
> [mm]P(X_1+X_2=n) =\sum_{k=0}^n P(X_1=k) \, P(X_2=n-k)\\
=\sum_{k=0}^n \frac{\lambda_1^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda_1} \, \frac{\lambda_2^{n-k}}{(n-k)!} \,\mathrm{e}^{-\lambda_2}\\
=\frac{1}{n!}\, \mathrm{e}^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \, \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \lambda_1^k \, \lambda_2^{n-k}=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^n}{n!} \, \mathrm{e}^{-(\lambda_1+\lambda_2)}[/mm]
>
> dies rekursiv angewandt zeigt, dass [mm]X_1 + X_2 + \cdots + X_n[/mm]
> ebenfall Poisson verteilt ist, richtig?
..mit Inetsitätsparamter gleich der Summe der einzelnen Intesitäten, ja.
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
Grüße,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 20.01.2011 | | Autor: | janisE |
Danke für deine Antwort!
> So geschrieben ist das noch nichts. Die Aussage zeigst du
> indem du die Verteilungsfunktion von [mm]\sigma X + \mu[/mm]
> ausrechnest und dann diese mit [mm]\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm]
> vergleichst (oder noch schneller über die
> charakteristische Funktionen, falls dir das etwas sagt).
> Wenn die übereinstimmen, so ist die Aussage richtig.
>
> Dazu fängst du so an:
>
> [mm]\IP (\sigma X + \mu \le t) = \IP (X \le \bruch{t-\mu}{\sigma}) = \int_{-\infty}^{\bruch{t-\mu}{\sigma}} \phi (u) du = \cdots[/mm]
> und mit einer Substitution, so dass du bis [mm]t[/mm] integrierst
> kriegst du Verteilungsfunktion von
> [mm]\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm] .
>
Charakteristische Funktionen haben wir angesprochen, jedoch hatten wir bisher noch nicht die Berechnung des Lebesgue-Integrals, weshalb uns nur die Definition über den Erwartungswert bleibt.
Deine Ideen verstehe ich in der Theorie, aber es hakt bei mir schon am Anfang. Wie kommst du auf [mm] \IP (\sigma X + \mu \le t) = \IP (X \le \bruch{t-\mu}{\sigma})[/mm] (also wie hast du den Term umgeformt), und wie berechne ich [mm]\phi[/mm]?
Vielen Dank und noch einen schönen Abend!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Do 20.01.2011 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Danke für deine Antwort!
>
> > So geschrieben ist das noch nichts. Die Aussage zeigst du
> > indem du die Verteilungsfunktion von [mm]\sigma X + \mu[/mm]
> > ausrechnest und dann diese mit [mm]\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm]
> > vergleichst (oder noch schneller über die
> > charakteristische Funktionen, falls dir das etwas sagt).
> > Wenn die übereinstimmen, so ist die Aussage richtig.
> >
> > Dazu fängst du so an:
> >
> > [mm]\IP (\sigma X + \mu \le t) = \IP (X \le \bruch{t-\mu}{\sigma}) = \int_{-\infty}^{\bruch{t-\mu}{\sigma}} \phi (u) du = \cdots[/mm]
> > und mit einer Substitution, so dass du bis [mm]t[/mm] integrierst
> > kriegst du Verteilungsfunktion von
> > [mm]\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm] .
> >
>
> Charakteristische Funktionen haben wir angesprochen, jedoch
> hatten wir bisher noch nicht die Berechnung des
> Lebesgue-Integrals, weshalb uns nur die Definition über
> den Erwartungswert bleibt.
Die Definition über den Erwartungswert ist OK. Aber ihr kennt die anderen Eigenschaften der charakteristischen Funktion nicht...
> Deine Ideen verstehe ich in der Theorie, aber es hakt bei
> mir schon am Anfang. Wie kommst du auf [mm]\IP (\sigma X + \mu \le t) = \IP (X \le \bruch{t-\mu}{\sigma})[/mm]
> (also wie hast du den Term umgeformt), und wie berechne ich
> [mm]\phi[/mm]?
>
> Vielen Dank und noch einen schönen Abend!
>
Ich habe in der Ungliechung [mm] \mu [/mm] abgezogen und durch [mm] \sigma [/mm] getielt, mehr nicht.
Mit [mm] \phi [/mm] ist die Dichtefunktion der standard Normalverteilung gemeint.
Grüße,
dormant
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