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| Aufgabe | Geben Sie die Gleichungen der Isoklinen an. Zeichnen Sie dann das Richtungsfeld und skizzieren Sie einige Lösungskurven
1) 2 y' = x² |
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Hallo!
Die graphische Approximation mittels Isoklinen für f(x,y,y')=0 glaube ich in Grundzügen verstanden zu haben. Mein Problem ist in der gegebenen Aufgabe das Fehlen von y - wonach ich normalerweise nach Gleichsetzung mit m auflösen kann, um somit die Isoklinengleichungen zu erhalten.
In der vorliegenden Aufgabe ist es ja ersichtlich, dass die Ursprungsfunktionen vertikal verschobene Ganzrationale Funktionen dritten Grades der Form [mm]f(x) = \left(\bruch{1}{6} \right)x^{3} + c[/mm] sind(?).
Geometrisch gesehen müssten dann die Isokline Vertikale sein.
Für [mm]m=\left{0,1,2,4.5 \right}[/mm] würde ich entpsrechend [mm]x=0, x=1, x=2, x=3[/mm] erhalten wollen.
Nur durch das Fehlen von y in der Aufgabenstellung weiß ich leider nicht, wie man auf mathematischen Wege da hinkommen kann.
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> Geben Sie die Gleichungen der Isoklinen an. Zeichnen Sie
> dann das Richtungsfeld und skizzieren Sie einige
> Lösungskurven
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> 1) 2 y' = x²
> Hallo!
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> Die graphische Approximation mittels Isoklinen für
> f(x,y,y')=0 glaube ich in Grundzügen verstanden zu haben.
> Mein Problem ist in der gegebenen Aufgabe das Fehlen von y
> - wonach ich normalerweise nach Gleichsetzung mit m
> auflösen kann, um somit die Isoklinengleichungen zu
> erhalten.
>
> In der vorliegenden Aufgabe ist es ja ersichtlich, dass die
> Ursprungsfunktionen vertikal verschobene Ganzrationale
> Funktionen dritten Grades der Form [mm]f(x) = \left(\bruch{1}{6} \right)x^{3} + c[/mm]
> sind(?).
>
> Geometrisch gesehen müssten dann die Isokline Vertikale
> sein.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Klar ! die Parallelen zur y-Achse
> Für [mm]m=\left{0,1,2,4.5 \right}[/mm] würde ich entpsrechend [mm]x=0, x=1, x=2, x=3[/mm]
> erhalten wollen.
>
> Nur durch das Fehlen von y in der Aufgabenstellung weiß
> ich leider nicht, wie man auf mathematischen Wege da
> hinkommen kann.
Jede Isokline ist durch eine Gleichung der Form y'=C (mit
einer beliebigen Konstanten [mm] C\in\IR) [/mm] zu beschreiben.
In deinem Fall ergibt sich also die Isoklinengleichung
[mm] $\frac{x^2}{2}\ [/mm] =\ C$
oder, nach x aufgelöst: [mm] $x=\pm\sqrt{2*C}$
[/mm]
Damit dies im Reellen geht, muss [mm] C\ge0 [/mm] sein. Die Isokline
für C=0 ist die Gerade mit der Gleichung x=0 (also die
y-Achse). Die Isokline zu einem positiven C-Wert besteht
aus einem Paar von Parallelen zur y-Achse an den Stellen
[mm] x=\sqrt{2*C} [/mm] und [mm] x=-\sqrt{2*C}
[/mm]
LG
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Danke!
Kann man sagen, dass das Fehlen von x bzw y auf horizontale bzw vertikale Isokline deutet?
z.B. [mm]y' * y = 1[/mm]
Dort fehlt in der DGL das x. Nach dem selben Ansatz ergäbe sich:
[mm]c=y'=\left{\bruch{1}{y}\right}
\gdw y=\bruch{1}{c}[/mm]
Dies entspräche also Horizontalen. Aber wie würde man denn die Richtungsvektoren für das Richtungsfeld finden, wenn man kein x zur Verfügung hat?
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> Danke!
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> Kann man sagen, dass das Fehlen von x bzw y auf horizontale
> bzw vertikale Isokline deutet?
Das kannst du so sehen.
> z.B. [mm]y' * y = 1[/mm]
>
> Dort fehlt in der DGL das x. Nach dem selben Ansatz ergäbe
> sich:
>
> [mm]c=y'=\left{\bruch{1}{y}\right}
\gdw y=\bruch{1}{c}[/mm]
>
> Dies entspräche also Horizontalen. Aber wie würde man
> denn die Richtungsvektoren für das Richtungsfeld finden,
> wenn man kein x zur Verfügung hat?
Für ein konstantes c hast du dann entlang der Geraden
y=1/c überall dieselbe Steigung y'=c . Daraus kannst
du z.B. den Steigungswinkel [mm] \alpha [/mm] für die entsprechenden
Richtungsvektoren berechnen: [mm] \alpha=arctan(c)
[/mm]
LG Al-Chw.
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