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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Sa 26.09.2009 | | Autor: | phys1ker |
Hallo,
ich habe mich vor kurzem mit der Herleitung der Lagrange-Gleichungen 2.Art beschäftigt. Die Herleitung erfolgt mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit.
Man betrachtet bei der Herleitung eine kleine virtuelle Verschiebung [mm] \delta [/mm] r . Hier setzt schon mein Problem ein: Warum verwendet man [mm] \delta [/mm] r und nicht dr? (Es wird explizit erwähnt, dass [mm] \delta [/mm] r nicht das gleiche ist wie dr). Das kuriose ist, dass im weiteren Verlauf mit dem [mm] \delta [/mm] r genauso weiter gerechnet wird, wie wenn es ein dr wäre, z.B. wendet man darauf die Defintion des Differentials an.
Was ich jetzt suche ist eine vernünftige - möglichst mathematische - und einleuchtende Erklärung für den Unterschied zwischen [mm] \delta [/mm] und d .
Ich hoffe ihr könnt mir helfen?
(Kennt ihr ein Buch wo die Mechanik maximal mathematisch aufgezogen wird?)
Gruss und vielen Dank im voraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Sa 26.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich habe mich vor kurzem mit der Herleitung der
> Lagrange-Gleichungen 2.Art beschäftigt. Die Herleitung
> erfolgt mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit.
> Man betrachtet bei der Herleitung eine kleine virtuelle
> Verschiebung [mm]\delta[/mm] r . Hier setzt schon mein Problem ein:
> Warum verwendet man [mm]\delta[/mm] r und nicht dr? (Es wird
> explizit erwähnt, dass [mm]\delta[/mm] r nicht das gleiche ist wie
> dr). Das kuriose ist, dass im weiteren Verlauf mit dem
> [mm]\delta[/mm] r genauso weiter gerechnet wird, wie wenn es ein dr
> wäre, z.B. wendet man darauf die Defintion des
> Differentials an.
Ich nehme an, du beziehst dich hier auf die Umrechnung der virtuelle Verrückung in die generalisierten Koordinaten. Es gibt zwei wesentliche Unterschiede zur totalen Ableitung: die virtuellen Verrückung darf die Zwangsbedingungen nicht verletzen, und es gibt keine explizite Zeitabhängigkeit, selbst wenn die Zwangsbedingungen zeitabhängig sind. Mit anderen Worten: die Zeitableitung, die laut Kettenregel normalerweise dazukäme, wird nicht betrachtet.
Das stimmt nicht ganz, zum Beispiel gibt es keine Zeitabhängigkeit.
> (Kennt ihr ein Buch wo die Mechanik maximal mathematisch
> aufgezogen wird?)
Im Buch von F. Scheck (Theoretische Physik 1: Mechanik) gibt es ein ganzes Kapitel über die geometrische Formulierung der Mechanik. Dazu musst du dich aber schon ein bischen in der Differentialgeometrie auskennen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Sa 26.09.2009 | | Autor: | phys1ker |
Okay.
1. Kannst du mir mathematisch, dass durch eine Änderung dr möglicherweise die Zwangsbedigung verletzt wird.
2. Wie kann etwas in einer Zeit dt=0 verschoben werden?
3. Wieso wird das delta [mm] x_i [/mm] bei wikipedia (gleich in der ersten Gleichung) wie das dx - also das normale totale differential - "definiert"? Ich sehe immer noch keinen mathematischen Unterschied. Wie sind denn dx und [mm] \delta [/mm] x
exakt definiert?
4. Was ist überhaupt die Idee hinter dem ganzen??
Gruß
http://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Arbeit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Sa 26.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 1. Kannst du mir mathematisch, dass durch eine Änderung
> dr möglicherweise die Zwangsbedigung verletzt wird.
Ich glaube, du willst einen physikalischen Zusammenhang mathematisch erklären. Das geht nicht. Physikalische Zusammenhänge sind Erfahrungstatsachen, die mit Hilfe der Mathematik beschrieben werden. Um unterschiedliche Konzepte zu erklären, nehmen wir unterschiedliche Symbole: (hier dr und [mm] $\delta [/mm] r$).
> 2. Wie kann etwas in einer Zeit dt=0 verschoben werden?
Das habe ich nicht gesagt. Es finden keine realen Verschiebungen statt. Es werden die zu einem festen Zeitpunkt innerhalb der Zwangsbedingungen möglichen Verschiebungen betrachtet.
> 3. Wieso wird das delta [mm]x_i[/mm] bei wikipedia (gleich in der
> ersten Gleichung) wie das dx - also das normale totale
> differential - "definiert"? Ich sehe immer noch keinen
> mathematischen Unterschied. Wie sind denn dx und [mm]\delta[/mm] x
> exakt definiert?
> 4. Was ist überhaupt die Idee hinter dem ganzen??
WIe schon gesagt, zunächst einmal fehlt der Term [mm] $\bruch{\partial x}{\partial t}$. [/mm] Das ist die mathematische Formulierung der Tatsache, dass ich zu einem festen Zeitpunkt das System anschaue und mich frage, welche Variation der Koordinaten durch die Zwangsbedingungen erlaubt sind. Die möglichen Variationen nenne ich virtuelle Verrückungen. Dazu kann ich virtuelle Arbeit ausrechnen, die zunächst einmal nichts mit der tatsächlich, im bewegten System geleisteten Arbeit zu tun hat.
Eine reale Bewegung kann natürlich nicht bei eingefrorener Zeitkoordinate ablaufen.
> http://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Arbeit
Der Wikipedia-Artikel ist schon richtig, aber sehr kurz. Ich rate dir, ein gutes Mechanikbuch nehmen und damit zu arbeiten.
Viele Grüße
Rainer
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