Voll. Induktion Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 09.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe | Beweise:
Es seien n [mm] \in \IN [/mm] und nicht-negative Zahlen [mm] x_{1}, [/mm] ... , [mm] x_{n} \ge [/mm] 0 gegeben. Dann gilt:
[mm] \produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}} [/mm] |
Guten Morgen,
ich habe ein Problem mit dieser Ungleichung. Als Beweisverfahren bietet sich hier die vollständige Induktion an:
Induktionsanfang:
Sei [mm] x_{n} [/mm] beliebig [mm] \ge [/mm] 0.
Für A(1) gilt:
[mm] \produkt_{k=1}^{1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{1}{x_{k}} [/mm] = [mm] 1+x_{k} \ge 1+x_{k}.
[/mm]
Damit ist der Induktionsanfang für A(1) wahr.
Induktionsvoraussetzung:
Sei [mm] \produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}.
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}
[/mm]
Das kann man im Beweis schreiben als:
[mm] {(1+x_{k})} [/mm] * [mm] (\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}) \ge x_{k}+(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}})
[/mm]
Bereits hier komme ich nicht weiter. Mir bereitet vorallem das beliebige [mm] x_{k} [/mm] ein Problem, weil ich nicht weiß wie ich das in den Beweis einbinden soll (muss ich überhaupt?). Auch habe ich allgemein Probleme mit Ungleichungen (nie gemacht, jetzt plötzlich in Massen). Ich habe versucht, andere Beweise von Ungleichungen durch Induktion nachzuvollziehen, wurde dadurch aber eher noch verwirrter und ratloser als vorher.
Kann mir da jemand von euch weiterhelfen?
Liebe Grüße,
Ceriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 So 09.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ceriana,
> Beweise:
>
> Es seien n [mm]\in \IN[/mm] und nicht-negative Zahlen [mm]x_{1},[/mm] ... ,
> [mm]x_{n} \ge[/mm] 0 gegeben. Dann gilt:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}[/mm]
>
> Guten Morgen,
>
> ich habe ein Problem mit dieser Ungleichung. Als
> Beweisverfahren bietet sich hier die vollständige
> Induktion an:
>
> Induktionsanfang:
>
> Sei [mm]x_{n}[/mm] beliebig [mm]\ge[/mm] 0.
Falsch. Richtig: Für alle [mm] n\in\IN [/mm] seien [mm] $x_{n}\ge [/mm] 0$ beliebig, aber fest.
> Für A(1) gilt:
Erst wenn wir die zu zeigende Aussage definieren als Aussage
der Form [mm] $A(n)\$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] macht es Sinn [mm] $A(1)\$ [/mm] zu schreiben.
> [mm]\produkt_{k=1}^{1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{1}{x_{k}}[/mm]
> = [mm]1+x_{k} \ge 1+x_{k}.[/mm]
> Damit ist der Induktionsanfang für A(1) wahr.
Damit hast du [mm] $A(1)\$ [/mm] nicht gezeigt. Zu zeigen: [mm] $A(1)\$ [/mm] ist wahr.
[mm] \produkt_{k=1}^{1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{1}{x_{k}}
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow (1+x_{1}) \ge [/mm] 1+ [mm] x_1$.
[/mm]
Wegen [mm] $x_1\ge [/mm] 0$ beliebig, aber fest, ist [mm] $A(1)\$ [/mm] wahr.
> Induktionsvoraussetzung:
>
> Sei [mm]\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}.[/mm] [mm] \red{(\star)}
[/mm]
Genauer: Entweder du schreibst, dass die Behauptung [mm] \red{(\star)} [/mm] gelten sollte
für ein beliebiges, aber festes, [mm] n\in\IN, [/mm] oder du schreibst, dass die
Aussage [mm] $A(n)\$, [/mm] die du vorher definiert hast, gelten sollte für ein
beliebiges, aber festes, [mm] n\in\IN.
[/mm]
> Induktionsbehauptung:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}[/mm]
Richtig. Nun kommt der Induktionsschritt, also der Beweis der Induk-
tionsbehauptung [mm] $A(n+1)\$ [/mm] mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung [mm] \red{(\star)}.
[/mm]
> Das kann man im Beweis schreiben als:
>
> [mm]{(1+x_{k})}[/mm] * [mm](\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}) \ge x_{k}+(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}})[/mm]
Du musst genauer arbeiten! Es ist
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1}).
[/mm]
Nun wieder du! Vielleicht ist es dir noch nicht klar, aber
du sollst die Induktionsbehauptung zeigen, so dass du auf
[mm] 1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k
[/mm]
kommen musst (Ist dir das klar?).
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 09.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
Hey, sorry, konnte leider erst jetzt antworten.
Leider konnte ich dir nicht wirklich folgen ab
> Du musst genauer arbeiten! Es ist
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1}).[/mm]
>
> Nun wieder du! Vielleicht ist es dir noch nicht klar, aber
> du sollst die Induktionsbehauptung zeigen, so dass du auf
>
> [mm]1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k[/mm]
>
> kommen musst (Ist dir das klar?).
nicht mehr folgen. Wieso muss ich nur
[mm] 1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k
[/mm]
zeigen? Aber vorallem das Hauptproblem: Wie zeige ich sowas? Bei meinen bisherigen Beweisen mit vollständiger Induktion gab es immer eine Art "Zielterm", zu dem man durch Umformen gelangte. Hier weiß ich aber leider nichtmal, wie ich solche Terme umformen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 09.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Hauptfehler ist, dass du den Summationsindes und das n durcheinanderbringst. dür n=1 steht doch da einfach
[mm] \produkt_{k=1}^{1}(x_k+1)\ge 1+\summe_{k=1}^{1}x_k
[/mm]
und damit [mm] 1+x_1\ge 1+x_1
[/mm]
schon mal kein k
jetzt Ind vors: [mm] \produkt_{k=1}^{n}(x_k+1) \ge 1+\summe_{k=1}^{n}x_k
[/mm]
Induktions Behauptung
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(x_k+1) \ge 1+\summe_{k=1}^{n+1}x_k
[/mm]
jetzt fang mit
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(x_k+1)= \produkt_{k=1}^{n}(x_k+1)(1+x_{n+1} [/mm] )an und folgere, was daraus mit der Indvors folgt und schon bist du praktisch fertig
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 09.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1}).[/mm]
Nochmal kurz zur Abschätzung: Wegen der Induktionsvoraussetzung ist
[mm] $\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}\ge \left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)$.
[/mm]
Der Ausdruck [mm] (1+x_{n+1}) [/mm] wird "mitgetragen" (Wieso klappt das?).
> Wieso muss ich nur [mm]1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k[/mm]
> zeigen? Aber vorallem das Hauptproblem: Wie zeige ich
> sowas? Bei meinen bisherigen Beweisen mit vollständiger
> Induktion gab es immer eine Art "Zielterm", zu dem man
> durch Umformen gelangte. Hier weiß ich aber leider
> nichtmal, wie ich solche Terme umformen kann.
Das hast du richtig verstanden. Beim Induktionsschritt ist hier zu zeigen
[mm] $\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}\ge \left(1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}\right)$.
[/mm]
Aus diesem Grund haben wir auch links angefangen mit
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1})
[/mm]
und wollen hinkommen zu
[mm] \left(1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}\right).
[/mm]
Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 09.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
Hallo ihr beiden,
nach längerem Hinundher, Gelese und Rumgerechne bin ich jetzt zu diesem Ergebnis gekommen:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1}) [/mm]
= 1 + [mm] \summe_{k=1}^{n}{x_{k}}+x_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}*x_{n+1}
[/mm]
[mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{k=1}^{n}{x_{k}} [/mm] + [mm] x_{n+1}
[/mm]
= [mm] 1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}
[/mm]
Bin ich da korrekt vorgegangen? Mir ist auch nicht ganz klar wie man das vernünftig aufschreibt, reicht diese Darstellung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 So 09.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo ihr beiden,
>
> nach längerem Hinundher, Gelese und Rumgerechne bin ich
> jetzt zu diesem Ergebnis gekommen:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1})[/mm]
>
> = 1 +
> [mm]\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}+x_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}*x_{n+1}[/mm]
> [mm]\ge[/mm] 1 + [mm]\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}[/mm] + [mm]x_{n+1}[/mm]
Hier fehlt mir noch die Begründung, dass wegen der Voraus-
setzung [mm] $x_n\ge [/mm] 0$ für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt
[mm] $\left(\sum_{k=0}^{n}x_k\right)*x_{n+1}\ge [/mm] 0$
und somit die Abschätzung richtig ist.
> = [mm]1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}[/mm]
>
> Bin ich da korrekt vorgegangen? Mir ist auch nicht ganz
> klar wie man das vernünftig aufschreibt, reicht diese
> Darstellung?
Ja, damit ist die Behauptung für alle [mm] n\in\IN [/mm] wahr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 So 09.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
Alles klar, ich bin endlich dahinter gestiegen!
Dankeschön euch beiden :>
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