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| Aufgabe | | Zeigen Sie mit dem Gaußschen Rezept, dass [mm] \summe_{n=1}^{m} [/mm] n = [mm] \bruch{m(m+1)}{2} [/mm] auch für ungerade m gilt. |
Hallo,
wie löst man eine solche Aufgabe. Ich nehme an mit der vollst. Induktion, habe aber keine Ahnung mehr wie sie geht. Die Lösung kenne ich, aber ich wäre euch dankbar, könntet ihr mir den Lösungsweg näher beschreiben.
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Do 28.09.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Also, das "Gauß'sche Rezept" sagt mir gar nichts! Die vollständige Induktion hingegen schon.
Und die zeigt praktiablerweise ja, dass die Aussage für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt, also insbesondere auch für die ungeraden.
Also führen wir eine vollständige Induktion in m durch.
Zu zeigen ist, dass [mm] $\summe_{i=0}^{m}{m}=\bruch{m*(m+1)}{2},\forall m\in\IN$
[/mm]
Induktionsanfang, m=1
[mm] \summe_{i=0}^{1}{m}=1=\bruch{0*(0+1)}{2}+\bruch{1*(1+1)}{2}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung
Die Aussage sei richtig für beliebiges [mm] $m\ge [/mm] 1$.
Induktionsschluss, [mm] $m\Rightarrow [/mm] m+1$
[mm] \summe_{i=0}^{m+1}=1+2+3+...+m+(m+1)\overbrace{=}^{I.V.}\bruch{m*(m+1)}{2}+{m+1}\overbrace{=}^{Zusammenfassen}\bruch{(m+1)*(m+2)}{2}=\bruch{(m+1)*(m+1+1)}{2}
[/mm]
q.e.d.
Ich hoffe dieser Beweis war nachvollziehbar! I.V. heißt, dass an dieser Stelle die Induktionsvoraussetung eingegangen ist.
Lg, Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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beim induktionsschluess zählst du den folgeschritt (m+1) zu der ursumme [mm] \summe_{i=0}^{m}\bruch{m\cdot{}(m+1)}{2} [/mm] dazu oder?
dann setzt du in der anfangsgleichung m=m+1 und wenn die beiden gleichungen übereinstimmen ist der beweis erbracht?
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo czernobill!
> beim induktionsschluess zählst du den folgeschritt (m+1) zu der
> ursumme [mm]\summe_{i=0}^{m}\bruch{m\cdot{}(m+1)}{2}[/mm] dazu, oder?
Du setzt hier die Formel für $m+1_$ an und anschließend die sogenannte "Induktionsvoraussetzung" [mm]\summe_{i=0}^{m}i \ = \ \bruch{m\cdot{}(m+1)}{2}[/mm] ein:
[mm]\summe_{i=0}^{m+1}i \ = \ \red{\summe_{i=0}^{m}i}+\blue{\summe_{i=m+1}^{m+1}i} \ = \ \red{\bruch{m\cdot{}(m+1)}{2}} + \blue{(m+1)}\ = \ ...[/mm]
> dann setzt du in der anfangsgleichung m=m+1 und wenn die
> beiden gleichungen übereinstimmen ist der beweis erbracht?
>
> ist das so richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Beweisen Sie die geometrische Summe:
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k}= \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] |
nach der obigen vorgehensweise komme ich nicht auf das ergebnis.
ich komme auf [mm] 1/q^{n}=q
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Di 03.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
die geometrische Summe [mm] \summe_{a=0}^{n}q^{a} [/mm] ist definiert für n [mm] \in\IN [/mm] und [mm] q\in \IR \backslash [/mm] 1.
Um das nun zu zeigen verwendet man einen kleinen Trick.
Nämlich:
[mm] \summe_{a=0}^{n}q^{a}*(a-1)=\summe_{a=0}^{n}q^{a+1}-\summe_{a=0}^{n}q^{a}
[/mm]
Nun muss man beide Summen auf q^(a) bringen. Dazu subtrahiert man in der Potenz 1 und addiert sie im Index der Summe wieder dazu.
Also:
[mm] =\summe_{a=1}^{n+1}q^{a}-\summe_{a=0}^{n}q^{a}
[/mm]
Nun subtrahieren sich alle Summanden bis auf den 1. und letzten Summanden alle raus. Dann hat man nur noch:
[mm] =q^{n+1}-q^0
[/mm]
[mm] =q^{n+1}-1
[/mm]
Da man für [mm] q\not= [/mm] 1 festgelegt hat darf man nun wieder durch (q-1) dividieren und man hat das gewünschte Ergebnis.
[mm] \summe_{a=0}^{n}q^{a}=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
Die Formel wird auch oftmals andersherum geschrieben, das macht aber nichts, denn man kann auch am Anfang die Summe mit -(q-1) multiplizieren, dann dreht sich alles rum und man hat sie so wie du sie brauchst.
Gruß,
clwoe
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Hi, czernobill,
> Zeigen Sie mit dem Gaußschen Rezept, dass [mm]\summe_{n=1}^{m}[/mm]
> n = [mm]\bruch{m(m+1)}{2}[/mm] auch für ungerade m gilt.
Also: Erst mal die Anekdote zu dieser Formel:
Der kleine Gauß ging damals noch in die "Grundschule". Der Lehrer gab der Klasse die Aufgabe:
"Kinder, addiert mal die Zahlen von 1 bis 100."
Gauß war schon nach wenigen Minuten fertig, denn er addierte die Zahlen nicht der Reihe nach (also: 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 100), sondern sozusagen "von außen nach innen", also:
1 + 100 = 101;
2 + 99 = 101;
3 + 98 = 101;
...
Das Ganze - leicht einzusehen - geht bis 50 + 51, also insgesamt 50 mal.
Demnach die Lösung von Gauß:
1 + 2 + 3 + ... 100 = 101*50 = 5050.
50 wiederum ist die Hälfte von 100,
allgemein also: die Hälfte von m.
Deine Aufgabe dürfte nun so gemeint sein: Wieso funktioniert dies auch, wenn m ungerade ist und damit die Hälfte von m ja eine Kommazahl der Art "...,5" ergibt?
Versuch's mal über diesen Hinweis!
mfG!
Zwerglein
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