Vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Sahra485 |
Hallo,
hänge an einer Aufgabe fest, vielleicht kannn mir jemand weiterhelfen...
Also: Beweis aller n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{i=n}^{2n-1} [/mm] (2i+1) = [mm] 3n^2
[/mm]
Induktionsanfang: ist klar!
Induktionsschluss: n -> n+1
MEINE FRAGE: Was mache ich nun mit [mm] \summe_{i=n}^{2n-1} [/mm] . Wie Würde der Ansatz lauten?
Vielen Danke für jede Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sarah485,
um die Induktionsannahme ins Spiel zu bringen, kannst Du in [mm]\summe_{i=n+1}^{2n+1} (2i-1)[/mm] die Summationsgrenzen jeweils um 1 vermindern (nach "unten verschieben"), mußt in der Summe aber $i$ durch $i+1$ ersetzen. Dann nutzt Du aus, daß $2(i+1)-1=2i-1+2[/mm], teilst die Summe in 2 getrennte Summen auf ...
Hth
zahlenspieler
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:06 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Wutzara |
Also der Induktionsschluß gestaltet sich folgendermaßen:
Als Voraussetzung hat man ja ein Anfangsglied mehr und zwei Schlußglieder weniger. Diese müssen auf beiden Seiten hinzuaddiert bzw. subtrahiert werden damit die Gleichung gleich bleibt.
[mm] \summe_{i=n}^{2n-1}(2i+1) [/mm] = [mm] 3n^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=n}^{2n-1}(2i+1) [/mm] - (2n+1) + (4n+1) + (4n+3) = [mm] 3n^2 [/mm] - (2n+1) + (4n+1) + (4n+3)
Nun steht links unser Schluß von [mm] \summe_{i=n+1}^{2n+1}(2i+1) [/mm] weswegen man nurnoch die rechte Seite überprüfen muss:
[mm] 3n^2 [/mm] - 2n + 1 + 4n + 1 + 4n + 3 = [mm] 3n^2+6n+3 [/mm] = [mm] 3(n^2+2n+1)=3(n+1)^2
[/mm]
Darausfolgt das unser Induktionsschritt richtig ist und für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt
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Hallo Wutzara,
> Also der Induktionsschluß gestaltet sich folgendermaßen:
> Als Voraussetzung hat man ja ein Anfangsglied mehr und
> zwei Schlußglieder weniger. Diese müssen auf beiden Seiten
> hinzuaddiert bzw. subtrahiert werden damit die Gleichung
> gleich bleibt.
>
> [mm]\summe_{i=n}^{2n-1}(2i+1)[/mm] = [mm]3n^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=n}^{2n-1}(2i+1)[/mm] - (2n+1) + (4n+1) +
> (4n+3) = [mm]3n^2[/mm] - (2n+1) + (4n+1) + (4n+3)
>
Hier müßte es heißen [mm]\summe_{i=n+1}^{2n+1} (2i+1) -(2n+1) +4n+1+4n+3=3n^2[/mm].
Mfg
zahlenspieler
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 03:18 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Wutzara |
Was genau ist an meiner Rechnung falsch. Ich gehe von der Induktionsvoraussetzung durch äquivalente Umforumgen zum Schluß, deswegen dürfte meine Angabe doch gestimmt haben. Wenn ich den Term den du angegeben hast benutze komme ich doch genau umgekehrt vom Schluß zur Voraussetzung (was natürlich auch nicht falsch ist aber eben genau der umgekehrte Weg ist) Wobei man auch noch aufpassen muss, den du darfst nicht alles zusammenklammern den dann bekommt man überall ein Minus.
Könntest du das nochmal überprüfen? Nicht das hier mumpitz erzählt wird ^^
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