Vollst. Induktion + Erklärung? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Mo 20.10.2008 | | Autor: | BaNe |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für jedes natürliche n [mm] \ge [/mm] 1 folgende Aussage gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ = [ (n+1)² *n² ] / 4 |
Persönliche Informationen: Ich habe dieses WinterSemester den Studiengang WirtschaftsIng. mit der Fachrichtung EtIT begonnen, da mich sowohl die naturwissenshaftliche Komponente als auch die Wirtschaft interessiert. Dummerweise legt unser MatheProf gleich ziemlich übel los - anstatt sich mal mit Namen vorzustellen begann einfach direkt in der ersten Vorlesung mit den Zahlenmengen (natürlich,reel,...) und dann sofort mit vollst. Induktion. Ich möchte doch mit 99,9% Sicherheit behaupten, dass 99,9% der anderen 500 Mitstreiter genauso plan- und orientierungslos sind wie ich. Da ich noch nie etwas von Induktion gehört habe, ist mein Vorwissen gleich 0. Das, was ich durch den Prof verstanden habe ist ein vielfaches von Null, was der Ergebnis aber nicht ändert ; ).
In der Schule war ich eigl. immer gut in Mathe - aber DAS erschließt sich mir bislang nicht.
Zur Aufgabe:
Da ich mir absolut nicht zu Helfen wusste, habe ich erstmal alles ausmultipliziert was es auszumultiplizieren gab, in der Hoffnung etwas erkennen zu können - was leider nicht der Fall war.
[mm] \bruch{(n+1)²*n²}{4} [/mm] = [mm] \bruch{(n²+2n+1) *n²}{4} [/mm]
= [mm] \bruch{(n^{4}+2n³+n²)}{4}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[edit läuft]
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:48 Mo 20.10.2008 | | Autor: | BaNe |
Hey Angela, vielen Dank für das schnelle Reagieren, aber ich habe leider zu früh gepostet und noch nicht alle meiner wirren Ansätze einfügen können!
Ich habe das unten in meinem Post mit [edit läuft] versucht deutlich zu machen!
Ich schreibe also hier mal weiter, in der Hoffnung, dass Du Dir nicht unnötig viel Mühe machst..
Beeindruckend, wie schnell hier zu einer so frühen Zeit auf Posts reagiert wird ;)
Also wieter im Text:
Wenn ich für k = n einsetze erhalte ich n³ = [mm] \bruch{(n+1)²*n²}{4} [/mm] o.0?!
Wenn ich für k = n+1 einsetze, erhalte ich (n+1)³ = n³+ 3n²+ 3n + 1
Aber was hat das mit Induktion zutun :>? Oder: Wie wende ich Indutkion hier überhaupt an?
|
|
|
| |
|
> Beweisen Sie, dass für jedes natürliche n [mm]\ge[/mm] 1 folgende
> Aussage gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k³ = [ (n+1)² *n² ] / 4
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> Dummerweise legt unser MatheProf gleich ziemlich übel los -
> anstatt sich mal mit Namen vorzustellen begann einfach
> direkt in der ersten Vorlesung mit den Zahlenmengen
> (natürlich,reel,...) und dann sofort mit vollst. Induktion.
Daß er sich nicht vorstellt, ist natürlich sehr ungezogen, der Rest ist völlig normal - wenn auch zunächst schockierend.
Du wirst Dich damit abfinden müssen, den Stoff, der Dir in der Vorlesung präsentiert wird, später in Eigenarbeit zu studieren.
Das ist anders als in der Schule - nicht nur an Deiner Universität.
Am besten verschaffst Du Dir zunächst mal einen Eindruck davon, wie  vollständige Induktion funktioniert (Mitschrift, Mathebuch, Wikipedia, Forum).
Es reicht als erste Hilfe, wenn Du Dir zunächst merkst, was der Reihe nach zu tun ist.
Danach wende Dich dann der Aufgabe zu und unternimm erste Versuche.
Behauptung
> für jedes natürliche n [mm]\ge[/mm] 1
> gilt
> [mm] \summe_{k=1}^{n}k³ =\bruch{ (n+1)² *n² }{4}
[/mm]
Beweis durch Induktion:
Induktionsanfang : rechne vor, daß die Behauptung für n=1 gilt, daß also [mm] \summe_{k=1}^{1} [/mm] k³ dasselbe ist wie [mm] \bruch{ (1+1)² *1² }{4}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung : nimm an, daß die Behauptung für ein [mm] n\in \IN [/mm] gezeigt ist, daß also für ein [mm] n\in \IN [/mm] gilt [mm] \summe_{k=1}^{n}k³ =\bruch{ (n+1)² *n² }{4}
[/mm]
(Hier ist nix zu tun. Bloß hinschreiben.)
Induktionsschluß [mm] n\to [/mm] (n+1):
Im Induktionsschluß zeigt man, daß die Aussage unter dieser Voraussetzung auch für n+1 gilt.
Zu zeigen ist hier: Es ist [mm] \summe_{k=1}^{\green{n+1}}k³ =\bruch{ ((\green{n+1})+1)² *(\green{n+1})² }{4}
[/mm]
(Jedes n der Beh. wurde durch [mm] \green{n+1} [/mm] ersetzt.)
Bew: (jetzt geht's richtig los!!!)
Es ist
[mm] \summe_{k=1}^{\green{n+1}}k³ [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ + [mm] (n+1)^3 [/mm] = ... + [mm] (n+1)^3 [/mm]
Bei ... kannst Du die Induktionsvoraussetzung einsetzen, und dann mußt Du versuchen, so richtig und so geschickt weiterzurechnen, daß Du am Ende
...= [mm] \bruch{ ((\green{n+1})+1)² *(\green{n+1})² }{4}=\bruch{ (n+2)² *(n+1)² }{4}
[/mm]
dastehen hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela!
Ich glaube, Sie haben einen Fehler bei der Summenformel gemacht...
Müsste es nicht heißen:
[mm] \summe_{ k=1 }^{n} k^3 [/mm] heißen ???
Liebe Grüße Christian
|
|
|
| |
|
Hallo,
oh ja, natürlich!
danke für den Hinweis, ich korrigier's sofort.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
