Vollst. Induktion Beweise < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mo 07.05.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Beweise durch vollständige Induktion:
1. Seien [mm] a_k [/mm] , [mm] b_k \in\IR [/mm] und [mm] A_n= \summe_{k=1}^{n}a_k [/mm] , dann gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_k*b_k=A_n b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k*(b_k [/mm] - [mm] b_{k+1}).
[/mm]
2. (Beweis ohne Verwendung des Anzahlbegriffs)
Ist M echte Teilmenge von [mm] X_n=\{a \in\IN| 1 \le a \le n\} [/mm] , so gibt es keine injektive Abbildung [mm] f:X_n\to [/mm] M. |
Also prinzipiell ist mir das Verfahren der Vollständigen Induktion bekannt (Ind.anfang, voraussetzung, schritt...), bei ,,leichten'' Beweisen ist das auch kein Problem, aber mit den Aufgaben von oben komme ich i-wie nicht klar... Wäre froh, wenn ihr helfen könntet!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mo 07.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Beweise durch vollständige Induktion:
> 1. Seien [mm]a_k[/mm] , [mm]b_k \in\IR[/mm] und [mm]A_n= \summe_{k=1}^{n}a_k[/mm] ,
> dann gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k*b_k=A_n b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k*(b_k[/mm] - [mm]b_{k+1}).[/mm]
>
> Also prinzipiell ist mir das Verfahren der Vollständigen
> Induktion bekannt (Ind.anfang, voraussetzung, schritt...),
> bei ,,leichten'' Beweisen ist das auch kein Problem, aber
> mit den Aufgaben von oben komme ich i-wie nicht klar...
> Wäre froh, wenn ihr helfen könntet!
gehe so vor, wie du es kennst:
Induktionsanfang: n=1:
Betrachte der Einfachheit wegen linke und rechte Seite der Gleichung getrennt.
[mm]\summe_{k=1}^{1}a_k*b_k=a_1*b_1[/mm]
[mm]A_1*b_{2}+\summe_{k=1}^{1}A_k*(b_k-b_{k+1})=A_1*b_2+A_1*(b_1-b_2)=A_1*b_1=\summe_{k=1}^{1}a_k*b_1=a_1*b_1[/mm]
Induktionsanfang ist also erfüllt.
Induktionsvoraussetzung: ...
Induktionsschritt: ...
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Di 08.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Also, Ind.voraussetzung: Wenn [mm] a_k, b_k \in [/mm] IR und $ [mm] A_n= \summe_{k=1}^{n}a_k [/mm] $, dann ist die Aussage
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k\cdot{}b_k=A_n b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k [/mm] - [mm] b_{k+1}$) [/mm] für ein beliebiges aber festes n schon richtig.
Ind.schritt von n nach n+1:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}a_k b_k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k b_k +a_{n+1} b_{n+1}. [/mm] Dann würde ich die Ind.voraussetzung nutzen. Stimmt das soweit?
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Hallo rollroll,
> Also, Ind.voraussetzung: Wenn [mm]a_k, b_k \in[/mm] IR und [mm]A_n= \summe_{k=1}^{n}a_k [/mm],
> dann ist die Aussage
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k\cdot{}b_k=A_n b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1}[/mm])
> für ein beliebiges aber festes n schon richtig.
>
> Ind.schritt von n nach n+1:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}a_k b_k[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k b_k +a_{n+1} b_{n+1}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann würde ich die Ind.voraussetzung nutzen. Stimmt das
> soweit?
Ja!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Di 08.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Also gut, dann weiter beim Ind.schritt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}a_k b_k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k b_k +a_{n+1} b_{n+1} [/mm] = [mm] A_n b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k [/mm] - [mm] b_{k+1}) [/mm] + [mm] a_{n+1}b_{n+1} [/mm] An dieser Stelle komme ich mit dem Vereinfachen aber leider nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Di 08.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Also gut, dann weiter beim Ind.schritt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}a_k b_k[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k b_k +a_{n+1} b_{n+1}[/mm] = [mm]A_n b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k[/mm] - [mm]b_{k+1})[/mm] + [mm]a_{n+1}b_{n+1}[/mm]
> An dieser Stelle komme ich mit dem
> Vereinfachen aber leider nicht weiter...
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}a_k b_k=\summe_{k=1}^{n}a_k b_k +a_{n+1} b_{n+1}= \red{A_n b_{n+1}}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1}) + \red{a_{n+1}b_{n+1}}[/mm][mm][/mm]
Siehe dir die Definition von [mm] A_n [/mm] an und addiere die beiden rotmarkierten Summanden, so erhälst du:
[mm]=A_{\red{n+1}} b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1}) [/mm]
Ziel ist: [mm]A_{\blue{n+1}} b_{\blue{n+2}}+\summe_{k=1}^{\blue{n+1}}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1}) [/mm]
Addiere Null:
[mm]=A_{n+1} b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1})\green{+A_{n+1}*(b_{n+1}-b_{n+2})-A_{n+1}*(b_{n+1}-b_{n+2})}[/mm]
[mm]=\ldots[/mm]
Naja, prüfe mal, ob das wirklich hinhaut... [smilie3]
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 08.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Hm, also die einzelnen Schritte verstehe ich ja noch, aber mir ist nicht klar, was die Addition von 0 bringen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Di 08.05.2012 | | Autor: | barsch |
> Hm, also die einzelnen Schritte verstehe ich ja noch, aber
> mir ist nicht klar, was die Addition von 0 bringen soll...
Ausgangspunkt ist: Du weißt, wo du hin willst!
Ein erneuter Blick auf meine Antwort zuvor:
>> [mm] \summe_{k=1}^{n+1}a_k b_k=\summe_{k=1}^{n}a_k b_k +a_{n+1} b_{n+1}= \red{A_n b_{n+1}}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1}) + \red{a_{n+1}b_{n+1}} [/mm]
>> Siehe dir die Definition von [mm] A_n [/mm] an und addiere die beiden rotmarkierten Summanden, so erhälst du:
>> [mm] =A_{\red{n+1}} b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1}) [/mm]
So weit klar?
>> Ziel ist: [mm] A_{\blue{n+1}} b_{\blue{n+2}}+\summe_{k=1}^{\blue{n+1}}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1}) [/mm]
So muss am Ende die rechte Seite aussehen, damit du die Ausgangsgleichung per Induktion gezeigt hast.
Wie bekommt man also hin, dass die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1}) [/mm] nicht nur bis n, sondern bis n+1 läuft? Man muss etwas addieren, nämlich [mm]A_{n+1}*(b_{n+1}-b_{n+2})[/mm]. Was wir addieren, müssen wir aber auch wieder abziehen, sonst stimmt's ja nicht. Also:
>> Addiere Null:
So sieht das dann aus:
>> [mm] =A_{n+1} b_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1})\green{+A_{n+1}\cdot{}(b_{n+1}-b_{n+2})-A_{n+1}\cdot{}(b_{n+1}-b_{n+2})} [/mm]
Und jetzt stumpfes ausrechnen:
[mm] =\red{A_{n+1} b_{n+1}}+\summe_{k=1}^{\blue{n+1}}A_k\cdot{}(b_k - b_{k+1})\red{-A_{n+1}\cdot{}(b_{n+1}-b_{n+2}) }[/mm]
Ist der Schritt klar? Dann...
Jetzt muss dir doch schon was auffallen (ROT)... Hast du es?... Sieht das jetzt so aus:
>> Ziel ist: $ [mm] A_{\blue{n+1}} b_{\blue{n+2}}+\summe_{k=1}^{\blue{n+1}}A_k\cdot{}(b_k [/mm] - [mm] b_{k+1}) [/mm] $
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Di 08.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Hab's jetzt verstanden, super, danke!
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.... geht es eigentlich recht analog.
Für n=1 gilt: [mm] $X_1 [/mm] = [mm] \{1\}, M=\emptyset$ [/mm] (warum?). Gilt die Aussage dafür?
Für den Induktionsschritt verwende [mm] $X_{n+1} [/mm] = [mm] X_n \cup \{n+1\}$ [/mm] und untersuche den Fall [mm] $M\subseteq X_n$ [/mm] oder [mm] $\{n+1\} \subseteq [/mm] M$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 09.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Also hab jetzt nochmal ordentlich aufgeschrieben, was ich habe:
Ind.anfang: n=1
Dann ist [mm] X_1= [/mm] {1} und M= [mm] \emptyset [/mm] (denn die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge), und die Abbildung f: {1} --> [mm] \emptyset [/mm] ist nicht injektiv, also stimmt die Aussage für n=1.
Ind.annahme:
Ist M echte Teilmenge von [mm] X_n= [/mm] { a [mm] \in [/mm] IN| 1 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] n }, so ist die Aussage, dass es keine injektive Abbildung von [mm] X_n [/mm] --> M gibt, schon richtig.
Ind. schritt: n --> n+1
Dann ist [mm] X_{n+1}= [/mm] { a [mm] \in [/mm] IN | 1 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] n+1} = [mm] X_n \cup [/mm] {n+1}
Fallunterscheidung:
1. {n+1} [mm] \subseteq [/mm] M Hier weiß ich nicht weiter
2. Hier ist mir nicht klar, weshalb man überhaupt den Fall M [mm] \subseteq X_n [/mm] betrachten soll, denn es ist doch vorausgestzt, dass M [mm] \subset [/mm] X ist , also echte Teilmenge von X ist ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Do 10.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Was sagt ihr dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also hab jetzt nochmal ordentlich aufgeschrieben, was ich
> habe:
>
> Ind.anfang: n=1
> Dann ist [mm]X_1=[/mm] {1} und M= [mm]\emptyset[/mm] (denn die leere Menge
> ist Teilmenge jeder Menge), und die Abbildung f: {1} -->
> [mm]\emptyset[/mm] ist nicht injektiv, also stimmt die Aussage für
> n=1.
>
> Ind.annahme:
> Ist M echte Teilmenge von [mm]X_n=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ a [mm]\in[/mm] IN| 1 [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n
> }, so ist die Aussage, dass es keine injektive Abbildung
> von [mm]X_n[/mm] --> M gibt, schon richtig.
>
> Ind. schritt: n --> n+1
> Dann ist [mm]X_{n+1}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ a [mm]\in[/mm] IN | 1 [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n+1} = [mm]X_n \cup[/mm]
> {n+1}
>
> Fallunterscheidung:
> 1. {n+1} [mm]\subseteq[/mm] M Hier weiß ich nicht weiter
> 2. Hier ist mir nicht klar, weshalb man überhaupt den
> Fall M [mm]\subseteq X_n[/mm] betrachten soll, denn es ist doch
> vorausgestzt, dass M [mm]\subset[/mm] X ist , also echte Teilmenge
> von X ist ...
Im Induktionsschritt mußt Du von einer echten Teilmenge M' von [mm] X_{n+1} [/mm] ausgehen !!
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kannst Du annehmen: n+1 [mm] \notin [/mm] M'. Dann ist M' eine Teilmenge von [mm] X_n
[/mm]
Nun unterscheide 2 Fälle:
1. [mm] M'=X_n
[/mm]
2. M' ist echte Teilmenge von M'
edit: natürlich ........ echte Teilmenge von [mm] X_n
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Do 10.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Also mit der Fallunterscheidung komme ich leider immernoch nicht ganz klar, wie kann den M' echte Teilmenge von M' sein, es handelt sich doch um dieselben Mengen , oder? Und beim 1.Fall weiß ich nicht wie ich daraus folgern soll, dass f: [mm] X_{n+1}--> [/mm] M nicht injektiv ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also mit der Fallunterscheidung komme ich leider immernoch
> nicht ganz klar, wie kann den M' echte Teilmenge von M'
> sein,
da hab ich mich verschrieben. ...... . natürlich echte Teilmenge von [mm] X_n
[/mm]
FRED
> es handelt sich doch um dieselben Mengen , oder? Und
> beim 1.Fall weiß ich nicht wie ich daraus folgern soll,
> dass f: [mm]X_{n+1}-->[/mm] M nicht injektiv ist...
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Ah, ok.
Trotzdem frage ich mich immernoch, wie man aus den beiden fällen folgern soll, dass f: [mm] X_{n+1} [/mm] --> M nicht injektiv ist...
Weil man ja die Fallunterscheidung mit [mm] X_n [/mm] macht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Do 10.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 12.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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