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| Aufgabe | Die folgende Aussage soll mit Induktion bewiesen werden:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}\forall [/mm] x [mm] \not= 1\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}$ [/mm] |
Hallo,
es wäre sehr nett, wenn jemand meinen bisherigen Lösungsstand korrigieren könnte. Das am Ende wirkt auf mich nicht so, als würde es richtig sein, ich finde andererseits aber auch keine Fehler...
Induktionsanfang n=0:
[mm] $\produkt_{k=0}^{1}(1+x^{2^{k}})=(1+x^{2^{0}})=(1+x)=1=\bruch{1-x}{1-x}=\bruch{1-x^{2*0+1}}{1-x}$
[/mm]
Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+1$
Induktionsvoraussetzung:
Für ein $n [mm] \in \IN_{0}$ [/mm] gelte: [mm] $\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}$
[/mm]
Zu zeigen:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2(n+1)+1}}{1-x}=\bruch{1-x^{2n+3}}{1-x}$
[/mm]
Dann folgt:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}=\left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right]+(1+x^{2^{n+1}})$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}+(1+x^{2^{(n+1)+1}})$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}+(1+x^{2^{n+2}})$
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Zum einen vermisse ich hier noch den letzten Schritt, der auf das gewünschte (will heißen: zu zeigende) Ergebnis führt.
Zum anderen scheinst Du hier das Produktzeichen (nicht Summenzeichen) falsch zu verstehen.
Es gilt:
[mm]\produkt_{k=0}^{n+1}1+x^{2^k} \ = \ \left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right] \ \red{\times} \ (1+x^{2^{n+1}})[/mm]
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Die folgende Aussage soll mit Induktion bewiesen werden:
$ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}\forall [/mm] x [mm] \not= 1\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x} [/mm] $ |
Hallo Loddar,
danke für Deine Antwort. Leider hänge ich am Ende trotz der Berichtigung fest.
Induktionsanfang n=0:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{1}(1+x^{2^{k}})=(1+x^{2^{0}})=(1+x)=1=\bruch{1-x}{1-x}=\bruch{1-x^{2\cdot{}0+1}}{1-x} [/mm] $
Induktionsschritt $ n [mm] \to [/mm] n+1 $
Induktionsvoraussetzung:
Für ein $ n [mm] \in \IN_{0} [/mm] $ gelte: $ [mm] \produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x} [/mm] $
Zu zeigen:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2(n+1)+1}}{1-x}=\bruch{1-x^{2n+3}}{1-x} [/mm] $
Dann folgt:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}=\left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right]*(1+x^{2^{n+1}}) [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}*(1+x^{2^{(n+1)+1}}) [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1-x^{2n+1}}{1-x}*(1+x^{2^{n+2}}) [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2n+1}-x^{2n+1}*x^{2^{n+2}}}{1-x}$
[/mm]
Ich sehe zwar, dass im Zähler (mit Ausnahme der 1) das x überall die Basis bildet, aber ich sehe nicht, wie ich derart vereinfachen kann, dass ich schlussendlich auf den zu zeigenden Bruch [mm] $\bruch{1-x^{2n+3}}{1-x}$ [/mm] komme.
Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Gruß
el_grecco
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| Aufgabe | Die folgende Aussage soll mit Induktion bewiesen werden:
$ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}\forall [/mm] x [mm] \not= 1\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} [/mm] $ |
Hallo schachuzipus,
da ist mir ein gewaltiges Missgeschick unterlaufen und es tut mir echt Leid. Ich glaube es ist schon eine halbe Ewigkeit her, dass ich mich bei der Aufgabenstellung vertippt habe. ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Es wäre sehr nett, wenn jemand meine endgültige Lösung unten korrigieren könnte.
Induktionsanfang n=0:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{0}(1+x^{2^{k}})=(1+x^{2^{0}})=(1+x)=\bruch{1-x^{2}}{1-x}=\bruch{1-x^{2^{1}}}{1-x}=\bruch{1-x^{2^{0+1}}}{1-x} [/mm] $
Induktionsschritt $ n [mm] \to [/mm] n+1 $
Induktionsvoraussetzung:
Für ein $ n [mm] \in \IN_{0} [/mm] $ gelte: $ [mm] \produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} [/mm] $
Zu zeigen:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}(1+x^{2^{k}})=\bruch{1-x^{2^{(n+1)+1}}}{1-x}=\bruch{1-x^{2^{n+2}}}{1-x} [/mm] $
Dann folgt:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n+1}=\left[\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{2^{k}})\right]*(1+x^{2^{(n+1)+1}}) [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}*(1+x^{2^{n+2}}) [/mm] $
[mm] $=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+1}}*x^{2^{n+2}}}{1-x} [/mm] $
- Ab hier bin ich mir mit dem Zusammenfassen unsicher -
[mm] $=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+3}}}{1-x} [/mm] $
[mm] $=\bruch{1+x^{2^{n+2}}-x^{2^{n+4}}}{1-x} [/mm] $
[mm] $=\bruch{1-x^{2^{n+2}}}{1-x} [/mm] $
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
