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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:33 Mi 23.05.2012 | | Autor: | per |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für n > 0 und sin [mm] \alpha \not= [/mm] 0 gilt:
[mm] cos(\alpha) [/mm] + [mm] cos(3\alpha) [/mm] + ... + [mm] cos((2n-1)\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{sin(2n\alpha)}{2 sin(\alpha)} [/mm] |
Hallo!
Aufgrund meiner eher leidlichen handwerklichen Kenntnisse im Rechnen mit Eulerzahl und Potenzen habe ich eine Frage bezüglich obiger Aufgabe. In der Vorlesung haben wir die Lösung solcher trigonometrischen Gleichungen mittels Exponentialdarstellung á la [mm] e^{i\alpha} [/mm] besprochen. Jedoch nicht ausführlich genug, als dass ich nun ohne Probleme an einer Stelle weiter rechnen könnte.
Den Induktionsanfang habe ich bereits und der sieht für n = 1 in Kürze so aus:
[mm] \bruch{sin(2\alpha)}{2 sin(\alpha)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2} (e^{i2\alpha} - e^{-i2\alpha})}{(e^{i\alpha} - e^{-i\alpha})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (e^{i\alpha} [/mm] + [mm] e^{-i\alpha}) [/mm] = [mm] cos(\alpha)
[/mm]
Nun bekomme ich jedoch Probleme, wenn ich versuche im Induktionsschritt z.B. im Sinusbruch zu kürzen, da mich das n in der Potenz irgendwie in Bedrouille bringt. Mir fehlt dafür das Handwerk, da ich nicht recht weiß, ob ich eine Kürzung so wie im Induktionsanfang durchführen kann. Über eine Hilfestellung würde ich mich doch recht freuen! Vielen Dank Euch dafür schon einmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo per,
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für n
> > 0 und sin [mm]\alpha \not=[/mm] 0 gilt:
>
> [mm]cos(\alpha)[/mm] + [mm]cos(3\alpha)[/mm] + ... + [mm]cos((2n-1)\alpha)[/mm] =
> [mm]\bruch{sin(2n\alpha)}{2 sin(\alpha)}[/mm]
> Hallo!
>
> Aufgrund meiner eher leidlichen handwerklichen Kenntnisse
> im Rechnen mit Eulerzahl und Potenzen habe ich eine Frage
> bezüglich obiger Aufgabe. In der Vorlesung haben wir die
> Lösung solcher trigonometrischen Gleichungen mittels
> Exponentialdarstellung á la [mm]e^{i\alpha}[/mm] besprochen. Jedoch
> nicht ausführlich genug, als dass ich nun ohne Probleme an
> einer Stelle weiter rechnen könnte.
>
> Den Induktionsanfang habe ich bereits und der sieht für n
> = 1 in Kürze so aus:
>
> [mm]\bruch{sin(2\alpha)}{2 sin(\alpha)}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{1}{2} (e^{i2\alpha} - e^{-i2\alpha})}{(e^{i\alpha} - e^{-i\alpha})}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} (e^{i\alpha}[/mm] + [mm]e^{-i\alpha})[/mm] = [mm]cos(\alpha)[/mm]
>
> Nun bekomme ich jedoch Probleme, wenn ich versuche im
> Induktionsschritt z.B. im Sinusbruch zu kürzen, da mich
> das n in der Potenz irgendwie in Bedrouille bringt. Mir
> fehlt dafür das Handwerk, da ich nicht recht weiß, ob ich
> eine Kürzung so wie im Induktionsanfang durchführen kann.
> Über eine Hilfestellung würde ich mich doch recht freuen!
> Vielen Dank Euch dafür schon einmal!
wo genau hapert's denn?
(Schreib' bitte die Stelle genau hin, am besten den ganzen Rechenweg. Eventuell müssen wir ja Fehler korrigieren, und die können wir meist nur schwer erraten, wenn zu wenig Informationen gegeben werden!)
Ich würde übrigens erstmal die Gleichung umschreiben:
Zu zeigen ist
[mm] $$2*\sin(\alpha)\sum_{k=1}^n \cos((2k-1)\alpha)=\sin(2n\alpha)\,.$$
[/mm]
Dann hat man auch alleine schon in der Formel nicht das Problem mit der Division durch [mm] $0\,,$ [/mm] wobei der Aufgabensteller eh geschlampt hat:
Was ist mit allen anderen [mm] $\alpha \in \pi*(\IZ\setminus \{0\})$?
[/mm]
Oder hast Du andere Einschränkungen an [mm] $\alpha$ [/mm] nicht erwähnt?
P.S.
Auf
[mm] $$\sin(2(n+1)\alpha)=\sin(2n\alpha+2\alpha)$$
[/mm]
kannst Du schonmal das Additionstheorem sicher draufschmeißen. Obige Herleitung unter Verwendung von sowas wie [mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] benutzt man meist zur direkten Herleitung solcher Formeln wie oben - da kann es sein, dass Du damit gar keinen Induktionsbeweis mehr bräuchtest. Das müsste ich aber selbst mal durchrechnen!
Gruß,
Marcel
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