Vollständig normierte Vektorräume < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage:
Ich soll überprüfen, ob die Menge aller stetig diff´baren Abbildungen von [a,b]--> [mm]\IR[/mm] zusammen mit der Supremumsnorm ein vollständig normierter Vekorraum ist.
Gezeigt habe ich schon, dass es sich bei der Supremumsnorm um eine Norm handelt. Somit habe ich schon einen normierten Vektorraum.
Leider weiss ich nicht, wie ich es anstellen soll zu prüfen, ob er nun vollständig ist oder nicht.
Vollständig bedeutet, ja dass jede Cauch-Folge konvergiert.
Würde ich also eine Cauchy Folge finden, die nicht konvergiert, so wäre der VR nur normiert und nicht vollständig.
Wie aber kann ich das überprüfen?
MfG
[mm]\wurzel{pi}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
Wir wollen zeigen, dass [mm] $(C^1([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})$ [/mm] kein abgeschlossener Unterraum des vollständigen Raumes [mm] $(C^0([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})$ [/mm] und damit nicht vollständig ist.
Betrachte mal die Funktionenfolge:
[mm] $f_n [/mm] : [-1,1] [mm] \to \IR$, $f_n(x) [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{n})^{1/2}$.
[/mm]
Jetzt musst du zeigen:
[mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert in der Supremumsnorm (also gleichmäßig) gegen die Betragsfunktion $f(x)=|x|$, aber $f$ ist nicht differenzierbar in $x=0$, d.h. $f [mm] \notin C^1([-1,1])$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Julius!
>
> Betrachte mal die Funktionenfolge:
>
> [mm] $f_n [/mm] : [-1,1] [mm] \to \IR$, $f_n(x) [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] +
> [mm] \frac{1}{n})^{1/2}$.
[/mm]
>
> Jetzt musst du zeigen:
>
> [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert in der Supremumsnorm (also
> gleichmäßig) gegen die Betragsfunktion $f(x)=|x|$, aber $f$
> ist nicht differenzierbar in $x=0$, d.h. $f [mm] \notin [/mm]
> [mm] C^1([-1,1])$.
[/mm]
>
>Meiner Meinung nach ist das kein Gegenbeispiel, denn dieser Vektorraum beinhaltet ja gerade nur die Funktionenfolgen, die auch stetig diff´bar sind.
Falls ich aber ein Funktonenfolge, die Cauchy-Folge ist, aber nicht konvergiert,dann ist der VR nicht vollständig.
Leider weiss ich nicht so richtig,welche Folgen Cauchy-Folgen sind.
Es kann ja auch sein,dass fer VR vollständig ist. Wie aknn man dass denn nachweisen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Ich habe noch eine Frage zu normierten Vektorräumen:
Wenn ich eine Funktionenfolge gegeben habe, sowie zwei Normen auf einem Vektorraum, ist es dann möglich, dass die Funktionenfolge für die eine Norm konvergiert, für die andere aber nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, das ist in jedem unendlichdimensionalen Vektorraum möglich, in einem endlichdimensionalen aber nicht (da dort alle Normen äquivalent sind).
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Julius!
Wäre denn zum Beispiel der Vektorraum der stetigen Funktionen über den reellen Zahlen ein solcher?
Danke für die schnellen Antworten!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Do 10.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
> Wäre denn zum Beispiel der Vektorraum der stetigen
> Funktionen über den reellen Zahlen ein solcher?
Ja, im Vektorraum [mm] $C^0([a,b])$ [/mm] der reellwertigen stetigen Funktionen auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ sind die beiden Normen
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_{\infty}:= \sup\limits_{x \in [a,b]} [/mm] |f(x)|$
und
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_{2}:= \left(\int_a^b f^2(x)\, dx \right)^{1/2}$
[/mm]
nicht äquivalent, d.h. insbesondere: Es gibt Folgen, die bezüglich der einen Norm konvergieren, nicht aber bezüglich der anderen.
Der normierte Raum
[mm] $(C^0([a,b]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})$
[/mm]
ist ein Banachraum (also vollständig),
der normierte Raum
[mm] $(C^0([a,b]), \Vert \cdot \Vert_2)$
[/mm]
ist unvollständig,
d.h. hier konvergiert nicht jede Cauchy-Folge.
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
> >Meiner Meinung nach ist das kein Gegenbeispiel,
Da irrst du dich.
Ich habe eine Folge, die in einem größeren Raum [mm] $C^0([-1,1])$ [/mm] konvergiert (das musst du noch zeigen, versuche es doch mal!), deren Folgenglieder aber alle in [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] liegen. Dann bildet die Folge natürlich eine Cauchy-Folge in [mm] $C^1([-1,1])$.
[/mm]
Klar?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Nein, leider noch nicht ganz klar!
>
> Ich habe eine Folge, die in einem größeren Raum
> [mm] $C^0([-1,1])$ [/mm] konvergiert (das musst du noch zeigen,
> versuche es doch mal!),
Ist der grössere Raum der Raum der stetigen Funktionen?
> deren Folgenglieder aber alle in
> [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] liegen.
Das verstehe ich nicht!
>Dann bildet die Folge natürlich eine
> Cauchy-Folge in [mm] $C^1([-1,1])$.
[/mm]
Okay, den Nachweis,dass die Folge konvergiert, werde ich noch machen (aber erst morgen  ), und dann ist klar, dass die konvergente Folge Cauchy-Folge ist!
Gruss,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marcel,
hier ist Marcel
> Nein, leider noch nicht ganz klar!
>
> >
> > Ich habe eine Folge, die in einem größeren Raum
> > [mm] $C^0([-1,1])$ [/mm] konvergiert (das musst du noch zeigen,
> > versuche es doch mal!),
>
> Ist der grössere Raum der Raum der stetigen Funktionen?
Fast: Es ist der Raum der auf $[-1,1]$ stetigen (reellwertigen) Funktionen, nämlich [m]C^0([-1,1])[/m], mit der von Julius angegebenen Supremumsnorm.
Präzise hat Julius das ja auch in seiner ersten Antwort gepostet:
[mm] $(C^0([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})$
[/mm]
(zu der Definition von [mm] $C^n(I)$ [/mm] mit $I$ Intervall, $n [mm] \in \IN_0$:
[/mm]
vgl. etwa: ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/pdfANAI.pdf
[mm] $\rightarrow [/mm] Definition 14.2, S.130, (interne) Zählung oben rechts)
> > deren Folgenglieder aber alle in
> > [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] liegen.
>
> Das verstehe ich nicht!
Das heißt doch (hier) nur:
Mit [mm] $f_n [/mm] : [-1,1] [mm] \to \IR$, $f_n(x) [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{n})^{1/2}$ [/mm] gilt:
[mm] $f_n \in C^1([-1,1])$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Die 'Folgeglieder' sind hier ja gerade die [mm] $f_n$!
[/mm]
> >Dann bildet die Folge natürlich eine
> > Cauchy-Folge in [mm] $C^1([-1,1])$.
[/mm]
> Okay, den Nachweis,dass die Folge konvergiert, werde ich
> noch machen (aber erst morgen ), und dann ist klar, dass
> die konvergente Folge Cauchy-Folge ist!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Ich hoffe, du meintest, dass du nachweisen wirst, dass die Folge in [mm] $(C^0([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})$ [/mm] konvergiert. In [m](C^1([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})[/m] wirst du das nämlich nicht hinbekommen. Weil sie dann aber in [m](C^0([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})[/m] konvergiert, ist es eine Cauchyfolge (Jede konvergente Folge ist ja eine Cauchyfolge. Nur die Umkehrung dieser Aussage macht i.A. Probleme...). Und denke daran, dass [mm] $C^1([-1,1]) \subset C^0([-1,1])$, [/mm] das ist ja auch wichtig, weil für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ja [mm] $f_n \in C^1([-1,1])$ [/mm] gilt und deswegen die Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die in [m]C^0([-1,1])[/m] konvergiert, ja auch in [m]C^1([-1,1])[/m] eine Cauchyfolge sein muss. Und sowohl auf [mm] $C^0([-1,1])$ [/mm] als auch auf [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] betrachtest du die gleiche Norm [m]\Vert \cdot \Vert_{\infty}[/m]...)
Viele Grüße,
[mm] Marcel$\not=\wurzel{\pi}$ [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 10.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marcel/ Julius!
Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch:
1. Ich schaffe es nicht zu zeigen, dass die Funktionenfolge konvergiert.
Ich versucht zu zeigen,dass es eine Cauchy-Folge ist!
Also: || [mm] f_n-f_k||=sup{...}. [/mm] Komme aber nicht weiter,sobald die Wurzeln ins Spiel kommen.
2. Wenn ich nun weiss, dass [mm] (f_n) [/mm] in [mm] (C^0([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty}) [/mm] konvergiert, warum betrachte ich dann nicht nicht die erste Ableitung und überprüfe, ob die konvergiert in [mm] (C^1([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty}) [/mm]. denn mich interessiert doch, ob die Cauchy-folge [mm] (f_n), [/mm] die in [mm] (C^0([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty}) [/mm] konvergiert und in [mm] (C^1([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty}) [/mm] auch eine Cauchy Folge ist, dort auch konvergiert. Dann hätte ich ja einen vollständigen Raum.
Mir ist also noch nicht ganz klar, warum ich die grenzfunktion betrachten soll und nicht die Ableitung, das wäre für mich logischer!
Gruss,
Marcel = [mm]\wurzel{\pi}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marcel,
> Hallo Marcel/ Julius!
>
> Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch:
>
> 1. Ich schaffe es nicht zu zeigen, dass die Funktionenfolge
> konvergiert.
> Ich versucht zu zeigen,dass es eine Cauchy-Folge
> ist!
> Also: || [mm] f_n-f_k||=sup{...}. [/mm] Komme aber nicht
> weiter,sobald die Wurzeln ins Spiel kommen.
Julius hatte dir doch den Hinweis gegeben, zu zeigen, dass [m]f_n : [-1,1] \to \IR[/m], [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{n})^{1/2}$ [/mm] gleichmäßig gegen die Funktion $f : [-1,1] [mm] \to \IR$, [/mm] $f(x): =|x|$ konvergiert.
(Was das mit der Supremumsnorm zu tun hat, das findest du in dem Skript, auf welches ich verwiesen hatte:
S. 140, Bemerkung 15.4.2)
Wichtig dabei ist auch, dass $f [mm] \in C^0([-1,1])$ [/mm] gilt, was aber ziemlich trivial ist.
Wenn du beachtest, dass für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
(I) [mm] $\wurzel{a+b} \le \wurzel{a}+\wurzel{b}$ [/mm] (warum?), dann folgt:
[mm]|f_n(x)-f(x)| = \begin{vmatrix}
\wurzel{x^2+\frac{1}{n}}-|x|
\end{vmatrix} \le \begin{vmatrix}|x| +\wurzel{\frac{1}{n}} - |x|\end{vmatrix} \le \wurzel{\frac{1}{n}}[/mm]
Weil nun [mm]\limes_{n \to \infty} \wurzel{\frac{1}{n}}=0[/mm] gilt, folgt die Behauptung (also das [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig gegen $f$ konvergiert und damit auch in der Supremumsnorm) (vgl. wieder mit dem Skript Bemerkung 15.4.2).
Bemerkung:
Die Einschränkung auf $[-1,1]$ von [mm] $f_n$ [/mm] war für den Beweis der gleichmäßigen Konvergenz übrigens unwesentlich, denn definierst du [m]g_n : \IR \to \IR[/m] durch [m]g_n(x) := (x^2 + \frac{1}{n})^{1/2}[/m] und [mm] $g:\IR \rightarrow \IR$ [/mm] durch [m]g(x):=|x|[/m], dann konvergiert [mm] $g_n$ [/mm] natürlich gleichmäßig gegen $g$ auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] wie der Beweis von eben zeigt, wenn man dort [mm] $f_n$ [/mm] durch [mm] $g_n$ [/mm] ersetzt sowie $f$ durch $g$.
> 2. Wenn ich nun weiss, dass [mm] (f_n) [/mm] in [mm](C^0([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})[/mm]
> konvergiert, warum betrachte ich dann nicht nicht die erste
> Ableitung und überprüfe, ob die konvergiert in
> [mm](C^1([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty}) [/mm].
Also das verstehe ich nun überhaupt nicht. Wieso willst du die Ableitungen betrachten (also die Folge [mm] $(f_n')_{n \in \IN})$? [/mm] Deine Folge ist ja [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$.
[/mm]
Wenn diese Folge in [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] konvergent wäre, dann müßte die Grenzfunktion auch [mm] $\in C^1([-1,1])$ [/mm] sein, d.h. insbesondere, dass dann [m]f(x):=|x|[/m] in $0$ differenzierbar sein müßte. Leider ist die Betragsfunktion aber in $0$ nicht diff'bar.
> denn mich
> interessiert doch, ob die Cauchy-folge [mm] (f_n), [/mm] die in
> [mm](C^0([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})[/mm] konvergiert und in
> [mm](C^1([-1,1]),\Vert \cdot \Vert_{\infty})[/mm] auch eine Cauchy
> Folge ist, dort auch konvergiert. Dann hätte ich ja einen
> vollständigen Raum.
Wie bereits gesagt: Die Grenzfunktion von [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$, [/mm] d.h.[m]f(x):=|x|[/m] [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ ist [mm] $\notin C^1([-1,1])$, [/mm] also kann [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] in [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] nicht konvergieren!
> Mir ist also noch nicht ganz klar, warum ich die
> grenzfunktion betrachten soll und nicht die Ableitung, das
> wäre für mich logischer!
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, worauf du nun hinaus willst? Verstehst du vielleicht den Unterschied zwischen [mm] $C^0([-1,1])$ [/mm] und [m]C^1([-1,1])[/m] nicht? Dann guck dir bitte noch einmal die Definition an, auf welche ich gestern verwiesen hatte!
Diesen Satz:
> warum ich die
> grenzfunktion betrachten soll und nicht die Ableitung, das
> wäre für mich logischer!
verstehe ich auch überhaupt nicht. Du kannst du die Ableitung der Grenzfunktion gar nicht betrachten, weil sie gar nicht auf $[-1,1]$ diff'bar ist (sonst wäre sie ja auch in $0$ diff'bar) und auch sonst verstehe ich deine Frage nicht...
Ich finde den Weg von Julius übrigens logisch:
Die Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert in [mm] $C^0([-1,1])$, [/mm] und deren Folgeglieder liegen alle auch in [mm] $C^1([-1,1])$. [/mm] Konvergente Folgen sind Cauchyfolgen, und weil alle Folgeglieder in [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] liegen, muss die Folge auch in [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] eine Cauchyfolge sein. Die Grenzfunktion der Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$, [/mm] also $f$, ist allerdings eine Funktion, die zwar in [mm] $C^0([-1,1])$ [/mm] liegt, d.h. $f [mm] \in C^0([-1,1])$, [/mm] jedoch nicht in [mm] $C^1([-1,1])$, [/mm] d.h. $f [mm] \notin C^1([-1,1])$, [/mm] weil $f$ in $0$ nicht differenzierbar ist.
Viele Grüße,
Marcel [mm]\not= \wurzel{\pi}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Do 10.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marcel!
Vielen Dank für deine Erklärungen.
Ich habe da wohl eben so einige Dinge durcheinander gebracht und den Überblick verloren.
Jetzt sollte es eigentlich angekommen sein.
Ich fasse also noch einmal zusammen.
Wenn ich überprüfen möchte, ob ein VR vollständig ist, mache ich folgendes:
- ich betrachte den "nächst grösseren" vollständigen VR und wähle geschickt eine Folge
- ich zeige, entweder, dass die Funktionenfolge glm. gegen eine Grenzfunktion im grösseren Raum konvergiert (dann sit diese Folge auch Cauchy-Folge!)
oder, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist (dann konvergiert diese auch glm. gegen eine Grenzfunktion)
-die eigenschaften des grösseren Raums sind auf den kleineren Raum zu übertragen, also dass die gewählte Folge Cauchy-Folge ist
-besondere Aufmerksamkeit schenke ich dann der Grenzfunktion und überprüfe, ob sie die Eigenschaften des kleineren Raums erfüllt
-falls nein, ist der Raum nicht vollständig
-falls ja, habe ich eine Cauchy-Folge gefunden, die konvergiert
Neues Problem: Wie zeige ich denn, dass ein Raum vollständig ist, d.h. alle Cauchy-Folgen müssen konvergieren?
Vielen Dank nochmal für die guten Antworten und die Geduld  !
Gruss,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marcel,
> Hallo Marcel!
>
> Vielen Dank für deine Erklärungen.
Bitteschön!
> Ich habe da wohl eben so einige Dinge durcheinander
> gebracht und den Überblick verloren.
> Jetzt sollte es eigentlich angekommen sein.
>
> Ich fasse also noch einmal zusammen.
> Wenn ich überprüfen möchte, ob ein VR vollständig ist,
> mache ich folgendes:
Du willst also einen allgemeinen Plan aufstellen? Und dabei spezialisierst du dich schon auf normierte VRe anstatt auf metrische Räume? Na egal. Dann gucken wir mal (aber, wenn ich das richtig sehe, ist das eher "nur" ein Plan, um die Unvollständigkeit nachzuweisen (sofern der Raum auch unvollständig ist)):
> - ich betrachte den "nächst grösseren" vollständigen VR und
Wie findest du den denn im Allgemeinen? Göttliche Eingebung? Also gut, nehmen wir an, du würdest, wie hier, einen kennen oder "geschenkt" (Danke, Julius ) bekommen...
> wähle geschickt eine Folge
Je nachdem, was du unter "geschickt" verstehst (und weil du hier ja eine spezielle Folge wählst, meinte ich auch, dass das ein Plan zur 'Unvollständigkeit' ist)
> - ich zeige, entweder, dass die Funktionenfolge glm. gegen
Hm, jetzt sind wir schon in speziellen VR...
> eine Grenzfunktion im grösseren Raum konvergiert (dann sit
> diese Folge auch Cauchy-Folge!)
> oder, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist (dann
> konvergiert diese auch glm. gegen eine Grenzfunktion)
>
> -die eigenschaften des grösseren Raums sind auf den
> kleineren Raum zu übertragen, also dass die gewählte Folge
> Cauchy-Folge ist
Beachte aber, dass bei uns auch alle Folgenglieder in dem "kleineren Raum" gelegen haben! Wenn das nicht so gewesen wäre, hätten wir evtl. Probleme gehabt, nachzuweisen, dass die Folge in dem "kleineren Raum" eine Cauchy-Folge ist! So ist das eine einfache Folgerung!
Ansonsten:
Also, wenn man jetzt mal von den speziellen Bezeichnungen: Funktionenfolge und Grenzfunktion
absieht, ist das eine oft genutzte Idee!
> -besondere Aufmerksamkeit schenke ich dann der
> Grenzfunktion und überprüfe, ob sie die Eigenschaften des
> kleineren Raums erfüllt
Hier ist auch der Ausdruck: Grenzfunktion ja etwas spezielles. Und die Eigenschaften der Grenzfunktion mußtest du hier überprüfen, weil dein 'Raum' nur Funktion mit diesen Eigenschaften zugelassen hat (es war ja die Frage, ob die Grenzfunktion in [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] liegt oder nicht, und die Funktionen in [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] haben ja eben gewisse Eigenschaften, weil [m]C^1([-1,1])[/m] so definiert ist).
> -falls nein, ist der Raum nicht vollständig
>
> -falls ja, habe ich eine Cauchy-Folge gefunden, die
> konvergiert
Wie bereits gesagt: Das mit den Eigenschaften der Grenzfkt. etc. ist ja etwas spezielles, was wir hier aufgrund der Definition von [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] etc. hatten.
Wenn du das tatsächlich allgemein formulieren wolltest, müsstest du einige Bezeichnungen ändern. Aber speziell auf diese Aufgabe bezogen war das die 'Strategie'.
Dass diese Idee bei einem anderen Beispiel genutzt wurde/werden kann, will ich dir nicht vorenthalten.
Es geht darum, dass [mm] $\IQ$ [/mm] nicht vollständig ist!
Beim Babylonischen Wurzelziehen (findest du auch irgendwo in dem angegebenen Skript) findet man eine Folge, die (z.B.) gegen [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] konvergiert, und deren Folgeglieder alle in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen. Weil die Folge in [mm] $\IR$ [/mm] (mit dem üblichen Abstand) konvergiert, ist sie eine Cauchyfolge in [mm] $\IR$. [/mm] Weil alle Folgenglieder in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen, ist sie aber auch eine Cauchyfolge in [m]\IQ[/m] (mit dem üblichen Abstand), kann aber in [mm] $\IQ$ [/mm] nicht konvergieren, sonst wäre ja [m]\wurzel{2} \in \IQ[/m], was falsch ist.
Du siehst also, deine obigen Bezeichnungen stimmen nur in speziellen Fällen, das Schema ist aber dennoch öfters zu gebrauchen, um die Unvollständigkeit nachzuweisen!
> Neues Problem: Wie zeige ich denn, dass ein Raum
> vollständig ist, d.h. alle Cauchy-Folgen müssen
> konvergieren?
Wenn du es widerlegen willst, so hast du oben ja schon ein Schema skizziert, was man aber halt 'allgemeiner' formulieren müsste. Ob man das immer so machen kann, das weiß ich jetzt nicht ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") , aber so kann man ja mal anfangen in der Hoffnung, dass es funktioniert
Ob es ein allgemeines Schema gibt, um die Vollständigkeit nachzuweisen, weiß ich nicht. Man muss halt eine beliebige Cauchyfolge aus der Menge hernehmen und zeigen, dass der Grenzwert in der Menge liegt (grob formuliert. Sonst müßte ich schreiben: Sei ... ein metrischer Raum...).
D.h. man muss eine Idee für den Grenzwert einer beliebigen Cauchyfolge vermuten/entwickeln/erraten/erahnen/geschenkt bekommen ..., und dann mithilfe dieses Grenzwertes erstmal zeigen, dass die Cauchyfolge gegen diesen Wert konvergiert und dann auch nachweisen, dass dieser Grenzwert in der Menge liegt.
Ein anderes Schema kenne ich nicht...
Vielleicht kennt Julius ein allgemeines? Oder vielleicht jemand anderes?
Viele Grüße
Marcel
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