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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Do 30.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die n-te Ableitung von f(x)=log(1-x) und beweisen Sie ihre Berechnung mittels vollständiger Induktion. |
Die Ableitungen sehen ja folgendermaßen aus:
f'(x)=1/(a-x)
[mm] f''(x)=-1/(1-x)^2
[/mm]
[mm] f'''(x)=2/(1-x)^3
[/mm]
[mm] f''''(x)=-6/(1-x)^4
[/mm]
[mm] f^v(x)=24/(1-x)^5
[/mm]
etc.
Jetzt muss ich mir ja überlegen, wie ich dass darstellen kann, damit ich die Induktion darauf anwenden kann. Ich dachte an:
[mm] f'(x)=1/(1-x)^n
[/mm]
f''(x)=(1*n)/(1-x)^(n+1)
f'''(x)=(n*(n+1))/(1-x)^(n+2)
Aber das funktioniert so nicht...wie könnte ich das noch anders darstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Do 30.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die n-te Ableitung von f(x)=log(1-x) und
> beweisen Sie ihre Berechnung mittels vollständiger
> Induktion.
>
> Die Ableitungen sehen ja folgendermaßen aus:
>
> f'(x)=1/(a-x)
Nein. Es ist $f'(x)=- [mm] \bruch{1}{1-x}$
[/mm]
> [mm]f''(x)=-1/(1-x)^2[/mm]
> [mm]f'''(x)=2/(1-x)^3[/mm]
> [mm]f''''(x)=-6/(1-x)^4[/mm]
> [mm]f^v(x)=24/(1-x)^5[/mm]
> etc.
>
> Jetzt muss ich mir ja überlegen, wie ich dass darstellen
> kann, damit ich die Induktion darauf anwenden kann. Ich
> dachte an:
>
> [mm]f'(x)=1/(1-x)^n[/mm]
> f''(x)=(1*n)/(1-x)^(n+1)
> f'''(x)=(n*(n+1))/(1-x)^(n+2)
>
> Aber das funktioniert so nicht
Doch. Probiers nochmal , aber ohne Vorzeichenfehler und stelle eine Vermurung über [mm] f^{(n)} [/mm] auf
FRED
> ...wie könnte ich das noch
> anders darstellen?
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Hallo Ymaoh!
Für die einzelnen Koeffizienten der Ableitungen denke auch mal an die Fakultät $n!_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 30.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ich hab jetzt die Vorschrift bis auf eine Kleinigkeit:
[mm] f^{n}=\bruch{(n-1)!}{(1-x)^n}
[/mm]
Was da fehlt, sind die wechselnden Vorzeichen. `
Also n=1 +
n=2 -
n=3 +
n=4 -
etc....
Da nen Tipp? Also man sieht ja, ungerade ist immer positiv, gerade negativ...das müsste ich doch irgendwie benutzen können...
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Hallo,
> Ich hab jetzt die Vorschrift bis auf eine Kleinigkeit:
>
> [mm]f^{n}=\bruch{(n-1)!}{(1-x)^n}[/mm]
???
Da fehlt ein Argument ...
Ansonten sieht das schonmal ganz gut aus, aber noch nicht ganz richtig ...
>
> Was da fehlt, sind die wechselnden Vorzeichen. '
> Also n=1 +
> n=2 -
> n=3 +
> n=4 -
> etc....
>
> Da nen Tipp? Also man sieht ja, ungerade ist immer positiv,
> gerade negativ...das müsste ich doch irgendwie benutzen
> können...
Ich sehe keinen Vorzeichenwechsel, schreibe mal deine ersten 4 Ableitungen hier auf.
Ich habe bei jeder Ableitung ein neg. Vorzeichen.
Also hat sich einer von uns vertan ...
Alternierendes VZ bekommst du durch Multiplikation mit [mm] $(-1)^n$ [/mm] o.a. hin ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Do 30.01.2014 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schachuzipus!
> Ich sehe keinen Vorzeichenwechsel, schreibe mal deine
> ersten 4 Ableitungen hier auf.
>
> Ich habe bei jeder Ableitung ein neg. Vorzeichen.
>
> Also hat sich einer von uns vertan ...
Das könnte in diesem Falle gar Du sein. 
Denn durch die innere Ableitung von [mm] $(1-x)^n$ [/mm] wechselt das Vorzeichen tatsächlich.
Oder man klammert zuvor [mm] $(-1)^n$ [/mm] aus und hat auch dann wechselnde Vorzeichen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Do 30.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Meine Ableitungen stehen in der Aufgabenstellung...und hab die jetzt auch mal von Geogebra ausrechnen lassen, sollten also stimmen :)
Wieso fehlt da ein Argument?
Ich hab jetzt insgesamt dieses:
[mm] f^{n}(x)=\bruch{(n-1)!}{(1-x)^n}*(-1)^{n+1}
[/mm]
Dürfte denke ich passen...
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Hallo Ymaoh,
> Meine Ableitungen stehen in der Aufgabenstellung...und hab
> die jetzt auch mal von Geogebra ausrechnen lassen, sollten
> also stimmen :)
Stimmen ja auch, außer der schon besprochenen ersten (Tippfehler, das mit dem a).
> Wieso fehlt da ein Argument?
> Ich hab jetzt insgesamt dieses:
>
> [mm]f^{n}(x)=\bruch{(n-1)!}{(1-x)^n}*(-1)^{n+1}[/mm]
>
> Dürfte denke ich passen...
Passt auch.
Irgendwie sieht es konventioneller aus, wenn Du die (-1)-Potenz nach vorn schreibst, aber eigentlich ist es egal. Und bei uns wollten die meisten Profs unbedingt eine Klammer um die Zahl der Ableitung, damit mans nicht mit einer Potenz verwechselt... Könnte aber auch ein örtlicher Spleen gewesen sein. Also so:
[mm] f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}*\bruch{(n-1)!}{(1-x)^n}
[/mm]
Ach, mir fällt gerade noch ein, dass das hier vielleicht hübscher ist:
[mm] f^{(n)}(x)=\;-\bruch{(n-1)!}{(x-1)^n}
[/mm]
Grüße
reverend
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