Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Mo 07.04.2014 | | Autor: | NFL_ |
| Aufgabe | Man beweise: Für alle natürlichen Zahlen n gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=1-\bruch{1}{n+1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe bisher :
Induktions-Anfang : n = 1
[mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1(1+1)} [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{(1+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Induktions-Schritt : n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}+\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=1-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
Hier bleibe ich dann hängen. Das Ziel sollte doch sein :
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)}=1-\bruch{1}{n+2} [/mm] zu zeigen ?
Wäre super wenn mir jemand ein bisschen auf die Sprünge helfen kann 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 07.04.2014 | | Autor: | NFL_ |
Hallo Marius,
Du hast mir sehr geholfen, ich hatte den Ansatz schon und zum Schluss stand auf meinem Papier dann :
[mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
Das hat mich verwirrt denn auf den ersten Blick habe ich nicht gesehen das es genau das ist was ich gesucht habe.
nach dem ich dann 0 im Nenner addiert habe in der form (1 - 1) habe ich dann die Lösung noch gefunden
[mm] \frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}-\bruch{(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm]
= [mm] \bruch{n+1}{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{n+1+(1-1)}{n+2}
[/mm]
= [mm] \bruch{n+2-1}{n+2}
[/mm]
= [mm] \bruch{n+2}{n+2}+\bruch{-1}{n+2} [/mm]
= [mm] 1-\bruch{1}{n+2}
[/mm]
Und es war explizit eine Aufgabe zur vollständigen Induktion ich bereite mich gerade auf die Analysis 1 Vorlesung vor die bei mir in einer Woche beginnt, ich habe also von Teleskop summen und so keinen schimmer  . Außer dem ist die Aufgabe in dem Buch von Otto Forster Analysis 1 unter dem Kapitel Vollständige Induktion zu finden.
Viele Grüße noch aus Berlin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mo 07.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Diophant,
Ich habe seine Mitteilung so verstanden, dass er sich auf
seine Vorlesung in Analysis I in einer Woche vorbereitet.
Finde ich übrigens gut.
Hallo NFL_,
TU, HU oder FU? Viel Glück.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Mo 07.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo DieAcht,
wer lesen kann, ist klar im Vorteil, in diesem Fall also du.
Ich werde mal oben nachbessern.
Gruß, Diophant
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Hallo,
ergänzend zu M.Rex: in der Aufgabenstellung ist nichts von vollständiger Induktion gesagt. Wenn man hier die Teleskopsumme erkennt, geht das nämlich viel einfacher...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mo 07.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Diophant
> Hallo
> ergänzend zu M.Rex: in der Aufgabenstellung ist nichts von > vollständiger Induktion gesagt.
> Wenn man hier die Teleskopsumme erkennt,
> geht das nämlich viel einfacher
> Gruß, Diophant
Immer diese scharfen Beobachter und ihr Werkzeug.
Das ist in der Tat die eleganteste Lösung.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mo 07.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
Haben Sie schon einmal etwas von dem alternativen Induktionsschritt gehört?
Gegeben sei eine Aussage, z.B.
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] a(i) =b(n)
Dann geht der alternative Induktionsschritt zu zeigen, dass folgendes gilt:
b(n)+a(n+1)=b(n+1)
Z.B. würde für den einfachsten Fall [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i= [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] der alternative Induktionsschritt ganz einfach
[mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] + (n+1) = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
sein und dann mittelst Äquivalenzumformung die Korrektheit der Gleichung, basierend auf dem alternativen Induktionsschritt, zu zeigen.
HIER, für DIESEN Fall wäre also der alternative Induktionsschritt:
1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+2}
[/mm]
Ich habe es ausprobiert, die Äquivalenzumformung klappt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Mo 07.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo mister -xyz
hast du gelesen, dass hier induktion -egal wie- das ungeeignete Mittel zum Beweis ist?
was ist alternativ an deiner Induktion, das ist doch das übliche, nur mit b(n) statt der Summe verkürzt geschrieben.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mo 07.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
ja toll....zufällig die Teleskopsumme...grandios! Und was ist, wenn eine andere Induktionsaufgabe kommt?? Der alternative Induktionsschritt ist sehr wohl alternativ und viel einfacher zu handhaben, weil die Summe nicht mehr vorkommt und man durch eine einfache Formel ohne die verwirrende Summe eine einfache Gleichung zeigt - und zwar durch Äquivalenzumformung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Mo 07.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> ja toll....zufällig die Teleskopsumme...grandios!
mach mal ein bisschen Piano. Das war eine ergänzende Antwort meinerseits (obwohl hier sicherlich das Mittel der Wahl)
> Und was
> ist, wenn eine andere Induktionsaufgabe kommt??
Es ist keine Induktionsaufgabe, weil dies nirgends dabeisteht!
> Der
> alternative Induktionsschritt ist sehr wohl alternativ und
> viel einfacher zu handhaben, weil die Summe nicht mehr
> vorkommt und man durch eine einfache Formel ohne die
> verwirrende Summe eine einfache Gleichung zeigt - und zwar
> durch Äquivalenzumformung.
Da ist nichts alternativ, das ist auch nichts anderes, als M.Rex vorgeschlagen hat.
sondern es ist schlichtweg falsch. Denn zum einen gehört zu einer vollständigen Induktion immer auch ein Induktionsanfang. Zum anderen funktioniert deine Richtung tatsächlich nur für Beweise, in denen ausschließlich mit Äquivalenzrelationen gearbeitet wird. Da sie (deine Vorgehensweise) jedoch den zu beweisenden Induktionsschluss vorweg als richtig annimmt (im Prinzip beweist du [mm] A(n+1)\Rightarrow{A(n)}), [/mm] sollte man sich hüten, gerade Studenten so etwas zu empfehlen. Denn selbst für den Fall, dass es einmal korrekt ist, was man da tut: es wird mit ziemlicher Sicherheit bei der Korrektur einen deftigen Punktabzug geben. Und das wollen wir doch nicht, oder?
Der Rest meines Beitrags war ein Irrtum.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Mo 07.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
Ich habe während meiner Analysis 1 Klausur genau diesen alternativen Induktionsschritt gebraucht und habe die volle Punktzahl bekommen und dieser alternative Induktionsschritt funktioniert immer für Summen mit "Kurzformel". Bzgl. Ihrer Aussage der Induktionsanfang fehle: Ich habe nicht gesagt "alternative Induktion" (wozu natürlich ein Induktionsanfang gehört), sondern "alternativer Induktions schritt ": Und selbstverständlich ist dieser alternative Induktionsschritt sehr empfehlenswert, weil er schlicht und ergreifend, gerade für solche "Summenprobleme", die Sache erheblich vereinfacht. Sie sehen doch welche Probleme es gab. Außerdem hat der Benutzer NFL_ ja gerade beim Induktions schritt Probleme, insofern ist gerade deshalb der alternative Induktionsschritt sehr empfehlenswert, weil er ja gerade solche Probleme, die NFL_ hatte, vermeidet. Mag sein, daß man das anders, alternativ lösen könnte, aber wieso Sie von der Induktion weggehen und alternative Lösungen bieten - wo es doch gerade beim Induktionsschritt Probleme gab - ist die Frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mo 07.04.2014 | | Autor: | NFL_ |
Hallo mr_xyz,
Mein Problem war nicht direkt der Schritt sondern "das Sehen"
der Lösung. Aber danke für deinen Beitrag ich werde mir das Vorgehen merken da ich denke es kann sehr hilfreich sein um sich selber dinge klar zu machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Mo 07.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hallo mr_xyz,
> Mein Problem war nicht direkt der Schritt sondern "das
> Sehen"
> der Lösung. Aber danke für deinen Beitrag ich werde mir
> das Vorgehen merken da ich denke es kann sehr hilfreich
> sein um sich selber dinge klar zu machen.
Wie gesagt: mister_xyz hat hier keine eigene Vorgehensweise präsentiert, sondern genau den vorgeschlagenen Weg von M.Rex (vielleicht bis auf eine andere Technik beim Zusammenfassen von Brüchen) als angebliche Alternative vorgestellt.
Gruß, Diophant
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