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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 So 18.05.2014 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | Für n€ N gilt. [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] |
Schönen Sonntag allerseits!
Bei meinen Prüfungsvorbereitungen wiederhole ich die vollständige Induktion. Im Regelfall ist es kein Problem. Hier in der Aufgabe stoße ich auf eine Schwierigkeit.
Im letzten Schritt (Induktionsschritt) komme ich nicht auf die Induktionsvoraussetzung. Ich weiß, dass es mehrere Lösungsmöglichkeiten gibt. Gerne würde ich meine, die ich euch im folgenden präsentiere, beibehalten. Das Muster ist für mich am einfachsten zu verstehen.
Lösung:
Die Induktionsbehauptung, sowie die Voraussetzung werden übersprungen, sind dennoch erfüllt (nachgerechnet).
Daher setze ich gleich beim Induktionsschritt an.
IS:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i(i+1)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)} [/mm] + [mm] \summe_{i=n+1}^{n+1}\bruch{1}{i(i+1)}
[/mm]
daraus folgt:
(1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ) + [mm] \bruch{1}{((n+1)((n+1)+1))}=
[/mm]
[mm] 1-\bruch{1}{n+1}+ \bruch{1}{(n+1)(n+2)}=
[/mm]
[mm] 1-\bruch{1}{n+1}+ \bruch{1}{n^2+3n+2}=
[/mm]
.
.
.
.
. An dieser Stelle hat man mir beigebracht, aus dem Induktionsschritt die Annahme einzusetzen um von unten nach oben die Gleichung auflösen zu können. und dort ist auch das Problem, die Gleichungen treffen nicht überein.
so würde ich mich von unten nach oben vorarbeiten wollen (begin ist von der letzten Zeile nach oben):
[mm] 1-\bruch{1}{n+2}= [/mm] und genau das ist nicht gleich dem oberem
[mm] 1-\bruch{1}{((n+1)+1)}=
[/mm]
Sieht jemand meinen Fehler?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Hybris,
> Für n€ N gilt. [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}[/mm] = 1 -
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
> Schönen Sonntag allerseits!
> Bei meinen Prüfungsvorbereitungen wiederhole ich die
> vollständige Induktion. Im Regelfall ist es kein Problem.
> Hier in der Aufgabe stoße ich auf eine Schwierigkeit.
>
> Im letzten Schritt (Induktionsschritt) komme ich nicht auf
> die Induktionsvoraussetzung.
Die Induktionsvoraussetzung wird im Induktionsschritt benutzt!
> Ich weiß, dass es mehrere
> Lösungsmöglichkeiten gibt. Gerne würde ich meine, die
> ich euch im folgenden präsentiere, beibehalten. Das Muster
> ist für mich am einfachsten zu verstehen.
>
> Lösung:
> Die Induktionsbehauptung, sowie die Voraussetzung werden
> übersprungen, sind dennoch erfüllt (nachgerechnet).
Du meinst den Induktionsanfang. Die eine Zeile war dir zu viel?
> Daher setze ich gleich beim Induktionsschritt an.
>
> IS:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{i(i+1)}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=n+1}^{n+1}\bruch{1}{i(i+1)}[/mm]
>
> daraus folgt:
Nein. Hier muss ein Gleichheitszeichen und ein Hinweis, der
daraus schließen lässt, dass die Induktionsvoraussetzung
eingesetzt wurde.
> (1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] ) + [mm]\bruch{1}{((n+1)((n+1)+1))}=[/mm]
>
> [mm]1-\bruch{1}{n+1}+ \bruch{1}{(n+1)(n+2)}=[/mm]
> [mm]1-\bruch{1}{n+1}+ \bruch{1}{n^2+3n+2}=[/mm]
Ausklammern ist nicht schön.
> .
> .
> .
> .
> . An dieser Stelle hat man mir beigebracht, aus dem
> Induktionsschritt die Annahme einzusetzen um von unten nach
> oben die Gleichung auflösen zu können. und dort ist auch
> das Problem, die Gleichungen treffen nicht überein.
>
>
> so würde ich mich von unten nach oben vorarbeiten wollen
> (begin ist von der letzten Zeile nach oben):
>
>
>
>
>
>
> [mm]1-\bruch{1}{n+2}=[/mm] und genau das ist nicht gleich dem
> oberem
> [mm]1-\bruch{1}{((n+1)+1)}=[/mm]
Mach noch einen Schritt. Es gilt:
[mm] 1-\bruch{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}.
[/mm]
Nach deinem System musst du nun zeigen:
[mm] 1-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 18.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Danke für die Unterstützung.
Leider kann ich die letzten beiden Schritte nicht nachvollziehen. Wie kommt man von 1- [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] auf [mm] \bruch{n+1}{n+2}? [/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 So 18.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
indem man die Summanden auf einen Nenner bringt.
diese Aufgabe mit Induktion zu lösen ist nicht effektiv, besser wäre eine Partialbruchzerlegung gewesen, gerade für eine Klausur.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 18.05.2014 | | Autor: | Hybris |
selbstverständlich.................................. Danke!
Nun endlich Endspurt :)
Die Aufgabenstellung soll (laut der Aufgabenstellung) mit der Induktion durchgeführt werden. Deshalb muss ich das am besten auch so erledigen.
Nun bin ich beim Schluss angelangt. Ungerne möchte ich etwas ungeschickt darstellen aber, iwie übersehe ich erneut was.
Es soll gezeigt werden, dass 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
meine Lösung (wobei ich nicht auf das Ergebnis komme):
1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)}=
[/mm]
[mm] \bruch{n+1-1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)}=
[/mm]
[mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=
[/mm]
und nun wird schwierig für mich :)
[mm] \bruch{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}= [/mm] und das wiederspricht bzw sehe ich keine Fortsetzung zum rechten Teil: [mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
oder übersehe ich da etwas?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> selbstverständlich..................................
> Danke!
>
> Nun endlich Endspurt :)
>
> Die Aufgabenstellung soll (laut der Aufgabenstellung) mit
> der Induktion durchgeführt werden. Deshalb muss ich das am
> besten auch so erledigen.
>
> Nun bin ich beim Schluss angelangt. Ungerne möchte ich
> etwas ungeschickt darstellen aber, iwie übersehe ich
> erneut was.
>
> Es soll gezeigt werden, dass 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{n+2}[/mm]
>
> meine Lösung (wobei ich nicht auf das Ergebnis komme):
> 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{n+1-1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=[/mm]
> und nun wird schwierig für mich :)
>
> [mm]\bruch{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=[/mm]
Multipliziere mal den Zähler aus.
> und das wiederspricht bzw
> sehe ich keine Fortsetzung zum rechten Teil:
> [mm]\bruch{n+1}{n+2}[/mm]
>
> oder übersehe ich da etwas?
Alles gut. Von der anderen Seite geht es auch. Es gilt:
[mm] \frac{n+1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}*\frac{n+1}{n+1}.
[/mm]
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 So 18.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Vielen lieben Dank Leute. Viele gemeine Umformungen. Jetzt hats geklappt.
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