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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass gilt: [mm] 2^{3n}-1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] durch 7 teilbar |
Induktionsanfang: n = 1;
7 ist durch 7 teilbar, Induktionsanfang in Ordnung. (*)
Induktionsschritt:
[mm] 2^{3(n+1)} [/mm] - 1
[mm] 2^{3n+3} [/mm] - 1
[mm] 2^{3n}*2^3 [/mm] -1
[mm] 2^{3n} [/mm] * (1+7)-1
[mm] 2^{3n} [/mm] + [mm] (2^{3n})*7 [/mm] - 1
[mm] 2^{3n} [/mm] - 1 ist bereits bewiesen, dass durch 7 teilbar, unter der Voraussetzung, dass * gilt.
Und [mm] 2^{3n}*7 [/mm] --> eine Zahl welche ich mit 7 multipliziere, ich auch durch 7 teilbar.
Wäre diese Aufgabe richtig?
Danke für Eure Hilfe 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mi 28.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass gilt: [mm]2^{3n}-1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] durch 7
> teilbar
> Induktionsanfang: n = 1;
>
> 7 ist durch 7 teilbar, Induktionsanfang in Ordnung. (*)
Es fehlt die Induktionsvoraussetzung. Wie lautet die ?
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]2^{3(n+1)}[/mm] - 1
> [mm]2^{3n+3}[/mm] - 1
> [mm]2^{3n}*2^3[/mm] -1
> [mm]2^{3n}[/mm] * (1+7)-1
> [mm]2^{3n}[/mm] + [mm](2^{3n})*7[/mm] - 1
Warum schreibst Du das ohne Gleichheitszeichen einfach untereinander und nicht so:
[mm] $2^{3(n+1)}-1=2^{3n+3}-1 [/mm] = [mm] ....=2^{3n}-1+7*2^{3n}$
[/mm]
??
> [mm]2^{3n}[/mm] - 1 ist bereits bewiesen, dass durch 7 teilbar,
Nein, das ist nicht bewiesen. Das ist die Induktionsvoraussetzung !
> unter der Voraussetzung, dass * gilt.
>
> Und [mm]2^{3n}*7[/mm] --> eine Zahl welche ich mit 7 multipliziere,
> ich auch durch 7 teilbar.
O.K.
>
>
> Wäre diese Aufgabe richtig?
Nein. Ein strenger Korrektor hätte Dir in einer Klausur 0 Punkte dafür gegeben.
FRED
>
> Danke für Eure Hilfe
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Dann versuche ich es nochmal:
Induktionsanfang für n=1:
[mm] 2^{3n} [/mm] -1 = [mm] 2^{3*1}-1 [/mm] = 8-1 = 7
7 ist durch 7 ohne Rest teilbar
Induktionsschritt:
[mm] 2^{3(n+1)} [/mm] - 1 =
> [mm] 2^{3n+3} [/mm] - 1 =
> [mm] 2^{3n}\cdot{}2^3 [/mm] -1 =
> [mm] 2^{3n} [/mm] * (1+7)-1 =
> [mm] 2^{3n} [/mm] + [mm] (2^{3n})\cdot{}7 [/mm] - 1 = >
> [mm] 2^{3n} [/mm] - 1 + [mm] (2^{3n})\cdot{}7 [/mm] = >
Jetzt sollte ich sagen können, dass [mm] 2^{3n} [/mm] -1 unter Voraussetzung des Induktionsanfanges durch 7 teilbar ist und ein Ausdruck, der mit 7 multipliziert ist auch durch 7 teilbar ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mi 28.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Dann versuche ich es nochmal:
>
> Induktionsanfang für n=1:
>
> [mm]2^{3n}[/mm] -1 = [mm]2^{3*1}-1[/mm] = 8-1 = 7
> 7 ist durch 7 ohne Rest teilbar
>
> Induktionsschritt:
> [mm]2^{3(n+1)}[/mm] - 1 =
> > [mm]2^{3n+3}[/mm] - 1 =
> > [mm]2^{3n}\cdot{}2^3[/mm] -1 =
> > [mm]2^{3n}[/mm] * (1+7)-1 =
> > [mm]2^{3n}[/mm] + [mm](2^{3n})\cdot{}7[/mm] - 1 = >
Was soll denn auf einmal dieses Zeichen "=>"? Mach' es doch einfach so wie Fred vorgeschlagen hat.
> > [mm]2^{3n}[/mm] - 1 + [mm](2^{3n})\cdot{}7[/mm] = >
>
> Jetzt sollte ich sagen können, dass [mm]2^{3n}[/mm] -1 unter
> Voraussetzung des Induktionsanfanges
Nein. Der Induktionsanfang macht bei Dir ein Aussage ueber $n=1$. Im Induktionsschritt wird dieser Fall nicht nocheinmal abgehandelt; wieso sollte er auch? Wie Fred bereits sagte: Du wendest an dieser Stelle die Induktionsvoraussetzung an. Und wie er bereits sagte, solltest Du diese auch explizit formulieren. Damit solche Fehler nicht passieren.
> durch 7 teilbar ist
> und ein Ausdruck, der mit 7 multipliziert ist auch durch 7
> teilbar ist.
Abgesehen von Schwaechen im Formalen sind Deine Ueberlegungen richtig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Michi4590 |
Vielen Dank für die Antworten. Wo --> auf einmal herkommt, ist mir auch ein Rätsel.
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