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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 So 15.01.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Ungleichung
[mm] \bruch{4^{n}}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{(2n)!}{((n!)^{2})} [/mm] |
Hallo
ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst
sie gilt ab n=2 das ist ja der Induktionsanfang
kommen wir zum wesentlichen
für n+1:
[mm] \bruch{(2(n+1))!}{((n+1)!)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{(2n)!*(2n+1)(2n+2)}{n!^{2}*(n+1)^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{4^{n}}{(n+1)}*\bruch{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^{2}} [/mm] > [mm] \bruch{4*4^{n}}{(n+2)}
[/mm]
nun kürze ich [mm] 4^{n} [/mm] auf beiden seiten weg und muss abschätzen richtig?
dann aufgelöst ergibt das folgendes:
[mm] \bruch{4n^{2}+6n+2}{n^{2}+2n+1} [/mm] > [mm] \bruch{4n+4}{n+2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (4n^{2}+6n+2)(n+2) [/mm] > [mm] (4n+4)(n^{2}+2n+1)
[/mm]
weiter auflösen ...
[mm] 2n^{2}+2 [/mm] > 0
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] n^{2} [/mm] > -1
normal wär das ja ne komplexe sache ... aber so kann ich das doch stehen lassen oder?
da [mm] n\in\IN [/mm] ist dies richtig
q.e.d. ?
Frage1: ist die Rechnung so (formal) richtig? ok ich hab nicht hingeschrieben wann Induktionsverankerung ist etc.
Frage2: ich hab noch eine andere Aufgabe bei der weis ich, das sie ab
n [mm] \ge [/mm] 5 gilt. Wenn ich dann die Abschätzung mache, habe ich am Ende stehen n [mm] \ge [/mm] 3. Was sagt mir das? Ist ja ein Unterschied ob erst ab 5 oder 3. Falls das noch unklar ist schreib ich die 2te Aufgabe auch noch dazu!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Tequila!
Grundsätzich ist dein Vorgehen ja richtig, aber wenn du es so aufschreibst
> [mm]\bruch{(2(n+1))!}{((n+1)!)^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(2n)!*(2n+1)(2n+2)}{n!^{2}*(n+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{4^{n}}{(n+1)}*\bruch{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^{2}}> \bruch{4*4^{n}}{(n+2)} [/mm]
beweist du gar nichts, wenn du anschließend diese letzte Ungleichung zeigst, denn dann leitest du aus der zu zeigenden Ungleichung eine wahre Aussage her, was dir nichts über den Wahrheitsgehalt der zu zeigenden Ungleichung aussagt.
Du musst dir genauer überlegen, wann du Folgerungspfeile setzt, wann Äquivalenzpfeile und wann du es besser mit Worten formulierst.
Ich würde hier erst die Abschätzung am Ende vornehmen und dann mit deinem obigen Teil beginnen und diese Abschätzung dabei verwenden.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Tequila |
Danke für die Antwort !
Was hat es denn nun mit den verschiedenen Ungleichungen auf sich die ich habe?
Also für die eigentliche Ungleichung das n >= 5
und beim Abschätzen n > 3
n > 3 ist ja im Prinzip auch n >= 4
aber nur weil es um die natürlichen Zahlen geht
aber das ist ja trotzdem ein anderes n als davor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 17.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tequila
wenn man abschätzt hat man ja keine Geichung, wenn was für n>3 richtig ist, dann ja auch für n>5! damit ist alles erfüllt. umgekehrt gehts nicht! wenn du was nur für n>5 bewiesen hast, gilt es natürlich für n>3 nicht unbedingt.
Gruss leduart
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