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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:51 Mo 30.01.2006 | | Autor: | picca |
| Aufgabe | | Beweise durch vollständige Induktion, dass die binomische Formel für alle n gültig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab mir bereits diesen Thread durchgelesen:
https://matheraum.de/read?t=112452&v=t
Soweit ist mir das generelle Vorgehen auch klar, nur habe ich ab dem Teil Probleme:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k-1 }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] $
So verstehe ich das: Beim rechten Teil setze ich n+1 für k ein, dann erhalte ich als Summand 0. Dh also, ich kann ihn gleich weglassen und nur von k=0 bis n aufsummieren.
Beim linken Teil starte ich mit k=0 und erhalte als Summand auch 0, dh ich kann hier gleich von k=1 bis n+1 aufsummieren.
Den Index muss ich wohl nur bei der linken Summe verschieben, da ich das n+1 wegbekommen will. Also verschiebe ich den Index, und summiere also von k=0 bis n. Da ich k um 1 erniedrigt habe, muss ich das in der Summe selbst ausgleichen, deshalb schreibe ich nun k+1 statt k.
Jetzt das erste Problem: Ich verändere doch auch das n, wieso muss ich also das n innerhalb der Summe nicht auch angleichen?
Das Herausziehen eines a aus der rechten Summe ist kein Problem, ich ziehe es vor und kann somit statt [mm] a^{n+1-k} [/mm] nun [mm] a^{n-k} [/mm] schreiben.
Da ich in der linken Seite k durch k+1 ersetzt habe, steht dort nun [mm] b^{k+1}
[/mm]
Ich ziehe ein b vor die Summe und erhalte wieder [mm] b^k
[/mm]
Wie wird aber aus dem [mm] a^{n+1-k} [/mm] ein [mm]a^{n-k}[/mm] Liegt es daran, dass ich auch hier k durch k+1 ersetze, und sich die 1 somit wegsubtrahiert?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo picca!
> Soweit ist mir das generelle Vorgehen auch klar, nur habe
> ich ab dem Teil Probleme:
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k-1 }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k + \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k[/mm]
>
> So verstehe ich das: Beim rechten Teil setze ich n+1 für k
> ein, dann erhalte ich als Summand 0. Dh also, ich kann ihn
> gleich weglassen und nur von k=0 bis n aufsummieren.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beim linken Teil starte ich mit k=0 und erhalte als
> Summand auch 0, dh ich kann hier gleich von k=1 bis n+1
> aufsummieren.
> Den Index muss ich wohl nur bei der linken Summe
> verschieben, da ich das n+1 wegbekommen will. Also
> verschiebe ich den Index, und summiere also von k=0 bis n.
> Da ich k um 1 erniedrigt habe, muss ich das in der Summe
> selbst ausgleichen, deshalb schreibe ich nun k+1 statt k.
> Jetzt das erste Problem: Ich verändere doch auch das n,
> wieso muss ich also das n innerhalb der Summe nicht auch
> angleichen?
Nein, du "änderst" nur das $k$. Mache dir das Vorgehen mal an einem einfachen Beispiel klar:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n k^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] \ldots n^2 [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1} (k+1)^2$.
[/mm]
> Das Herausziehen eines a aus der rechten Summe ist kein
> Problem, ich ziehe es vor und kann somit statt [mm]a^{n+1-k}[/mm]
> nun [mm]a^{n-k}[/mm] schreiben.
> Da ich in der linken Seite k durch k+1 ersetzt habe, steht
> dort nun [mm]b^{k+1}[/mm]
> Ich ziehe ein b vor die Summe und erhalte wieder [mm]b^k[/mm]
> Wie wird aber aus dem [mm]a^{n+1-k}[/mm] ein [mm]a^{n-k}[/mm] Liegt es
> daran, dass ich auch hier k durch k+1 ersetze, und sich die
> 1 somit wegsubtrahiert?
Genau daran liegt es. 
Eigentlich hast du alles verstanden...
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mo 30.01.2006 | | Autor: | picca |
Vielen Dank Julius :)
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