Vollständige Induktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:55 Fr 02.06.2006 | | Autor: | maggi20 |
hallo liebe Leute,
ich habe da eine Farge zur vollständigen Induktion. Was für ein Gedanke steckt dahinter (der Dominoeffekt), oder? Aber wie funktioniert dieser bei der vollständigen Funktion. KÖnnte mir das bitte jemand erklären. Benötige dringend Hilfe.
Liebe Grüsse
Maggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Fr 02.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Hallo!
Ich persönlich würde nicht den Begriff wählen, aber man kann es sich schon so vorstellen, weil man induktiv immer von dem n-ten auf den (n+1)-ten Schritt schließt...
Angenommen, du willst eine Aussage A(n) beweisen, die von einer natürlichen Zahl n [mm] \ge [/mm] 1 abhängt. Dies sind ja in wirklichkeit unendlich viele Aussagen A(1), A(2),... und die kann ja kein Mensch alle beweisen!
Und hier kommt die vollständige Induktion ins Spiel.
Allgemein gilt
Um A(n) für alle n [mm] \ge [/mm] 1 zu beweisen, genügt es zu zeigen:
Induktionsanfang: A(no) ist richtig
[Induktionsvoraussetzung: A(n) richitg]
Induktionsschritt: zeige A(n) richtig -> A(n+1) ist ebenfalls richtig
Am besten versteht man die Induktion an einem Beispiel:
Angenommen, du willst zeigen das für jede natürliche Zahl n gilt:
1+2+3+4+...+n = [mm] \bruch{(n(n+1))}{2}
[/mm]
Beweis:
Wir setze S(n) = 1+2+...+n und zeigen Gleichung
S(n) = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Induktionsanfang: Sei n = 1
Dann ist S(1) = 1 und [mm] \bruch{1(1+1)}{2}=1, [/mm] also gilt die Formel für n=1
Induktionsvoraussetzung: Es gilt S(n)= [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Induktionschritt: n->n+1
Es gilt: S(n+1) = S(n) + (n+1)
(mit I.V.)= [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] + (n+1)
= [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
und genau da wollten wir ja auch hin. q.e.d.
Zum besseren Verständnis probier selbst nochmal eine Induktion
z.B: Zeige: für alle natürlichen Zahlen n gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k-1) = [mm] n^2
[/mm]
Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Mo 05.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Hallo Maggi!
Warst du mit meiner beantwortung deiner Frage nicht zurfrieden,
oder warum hast du sie nochmal gestellt?
Lg Sclossa
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