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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 26.09.2004 | | Autor: | kreudaa |
Hallo mal wieder!
Ich habe eine Frage bezüglich der vollständigen Induktion.
Zu beweisen ist: [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + ... [mm] +n^2 [/mm] = n/6 (n+1) (2n+1)
Ich bin dann folgendermaßen dran gegangen:
1. Induktionsanfang:
n=1 -> 1/6 (1+1) (2*1+1) = 1 # bis jetzt müsste es stimmen!
2. Induktionsvorraussetzung:
Für alle Zahlen bis n soll gelten:
[mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2+ [/mm] .... [mm] +n^2 [/mm] = n/6 (n+1) (2n+1) # müsste auch ok sein
3. Induktionsschluss:
dann gilt es auch für n+1!
[mm] 1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1) [/mm] = (n+1)/6 [(n+1)+1] [(2n+1) +1]
also bis jetzt war ich mir eigentlich ziemlich sicher, dass das alles stimmen sollte! aber was muss ich jetzt machen? wie soll ich die linke Seite des Terms umformen, damit 0=0 rauskommt? wäre für eure Hilfe sehr dankbar.
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hallo!!
Weißt du genau dass die Aussage stimmt???Setze einmal für n=2 oder n=3 ein!!!!
wenn dann müsste es heißen!!!
[mm] (n+1)=\bruch{(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6}
[/mm]
mfg daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 26.09.2004 | | Autor: | Messias |
Hallo!
nitro1185 hat recht. Im Induktionsschritt muss stehen:
[mm] 1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm]
Man muss immer das n durch n+1 ersetzen, das bedeutet für die letzte Klammer also: [mm] (2(n+1)+1)=(2n+3)[/mm]
Wenn man Vollständige Induktion anwendet muss man im Induktionsschritt immer die Induktionsvoraussetzung einsetzen. In deiner Aufgabe geht das ganz einfach. Man ersetzt [mm]1^2+2^2+3^2+...+n^2[/mm] durch [mm]\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/mm]. So steht es in der Induktionsvoraussetzung. Man erhält also:
[mm]1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2[/mm]
Diesen Ausdruck kann man jetzt durch ausklammern von [mm]\bruch{1}{6}(n+1)[/mm], dann weiterem zusammenfassen und wieder faktorisieren auf das gewünschte Ergebnis [mm] \bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm] bringen.
Ich hoffe das hat dir geholfen.
Gruß
Messias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 26.09.2004 | | Autor: | kreudaa |
Danke für eure Hilfe! Ein paar Fragen habe ich jedoch noch...
1. Ist der Induktionsschritt gleich dem Induktionsschluss?
2. Es fällt mir unglaublich schwer, die Gleichung 1/6 n (n+1) (2n+1) + [mm] (n+1)^2 [/mm] so umzuformen, dass am Ende 1/6 n (n+1) (2n+1) (2n+3) rauskommt. Ich bekomm das einfach nicht hin! wäre nett, wenn ihr mir das nochmal erklären könntet.
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Hallo kreudaa,
> Danke für eure Hilfe! Ein paar Fragen habe ich jedoch
> noch...
>
> 1. Ist der Induktionsschritt gleich dem
> Induktionsschluss?
>
im Prinzip ja 
du ersetzt über all das $n$ durch $(n+1)$
aber dann kommt das Wichtigste:
auf der linken Seite ersetzt du den Ausdruck [mm] $1^2 [/mm] + ...+ [mm] n^2$ [/mm] durch die rechte Seite der Induktionsvoraussetzung: [mm] $\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
[/mm]
Das hat Messias ja schon geschrieben:
[mm] $\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1) [/mm] + (n+1)$
> 2. Es fällt mir unglaublich schwer, die Gleichung 1/6 n
> (n+1) (2n+1) + [mm](n+1)^2[/mm] so umzuformen, dass am Ende 1/6 n
> (n+1) (2n+1) (2n+3) rauskommt. Ich bekomm das einfach nicht
> hin! wäre nett, wenn ihr mir das nochmal erklären könntet.
>
Du weißt doch, dass [mm] $\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)$ [/mm] herauskommen soll.
Löse in beiden Ausdrücken alle Klammern auf und fasse zusammen: dann sollten beide Ergebnisse übereinstimmen.
Stimmt's?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:32 Mo 27.09.2004 | | Autor: | kreudaa |
Also würde dann da stehen:
1/6 n (n+1) (2n+1) = 1/6 n (n+1) (2n+1) + [mm] (n+1)^2
[/mm]
??
Wenn ja, ist das doch nicht das selbe, oder?
oder steht da
1/6 n (n+1) (2n+1) + (n+1)= 1/6 (n+1)(n+2)(2n
3)
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> Also würde dann da stehen:
> 1/6 n (n+1) (2n+1) = 1/6 n (n+1) (2n+1) + [mm](n+1)^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es muss heißen:
[mm]\underbrace{\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)}_{\mbox Zusammenfassung fuer n} + (n+1)^2= \underbrace{\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)}_{\mbox Zusammenfassung fuer n+1}[/mm]
Jetzt solltest du links und rechts selbst ausrechnen können und zeigen, dass beide Seiten gleich sind.
> ??
> Wenn ja, ist das doch nicht das selbe, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Habe ich so auch nicht gemeint.
>
>
>
> oder steht da
> $1/6 n (n+1) (2n+1) + (n+1)= 1/6 (n+1)(n+2)(2n + 3)$
leider auch nicht richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Messias |
Hallo.
OK, ich mache die Rechnung für dich zuende:
[mm]1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2[/mm]
Das stand schon in meinem letzten Posting.
Jetzt wie angekündigt [mm]\bruch{1}{6}(n+1)[/mm] ausklammern. Ich forme jetzt die Gleichung weiter um, es stehen also überall = Zeichen:
[mm]= \bruch{1}{6}(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]=\bruch{1}{6}(n+1)(2n^2+n+6n+6) =\bruch{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6)[/mm].
Es gilt (wenn dus nicht glaubst, dann nachrechnen): [mm](n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6[/mm]
Wenn man das jetzt als letzten Schritt in der Gleichungskette einsetzt erhält man:[mm]\bruch{1}{6}(n+1)(n+1)(2n+3)[/mm]
Damit bist du fertig. Ich gebe zu, dass man das mit dem letzten Schritt nicht unbedingt direkt sehen kann. Aber da man weiß was rauskommt kann man mit dem Vergleichen was man hat und wenn man vermuten kann was da rauskommt, dann ist es nicht so schwer auf einem Schmierblatt seine Vermutung nachzurechnen.
Gruß
Messias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Mo 27.09.2004 | | Autor: | kreudaa |
Okay, war ja eigentlich ziemlich einfach.
Mich haben nur die vielen verschieden Beiträge etwas irritiert. Jetzt ist alles klar!Bis dann und vielen dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Smilodon |
Hallo
Ich habe zur Übung versucht die Summenfolge für Kubikzahlen durch vollständige Induktion zu beweisen ... und nu häng ich fest.
Das sind meine Ideen ich hoffe mit kann einer sagen warum ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe.
Kubikzahlensumme:
[mm]\summe_{i=1}^{n} i^3 = \left[\bruch{n*\left(n+1\right)}{2}\right]^2[/mm]
Induktionsanfang:
für n= 1 [mm]\left[\bruch{1*\left(1+1\right)}{2}\right]^2 = 1[/mm]
Induktionsschluß:
[mm]=\left[\bruch{n*\left(n+1\right)}{2}\right]^2+\left(n+1\right)^3[/mm]
[mm]=\left[\bruch{n^2+n}{2}\right]^2+n^3+3n^2+3n+1[/mm]
[mm]=\bruch{1}{4}n^4+n^3+3\bruch{1}{4}n^2+3n+1[/mm]
Das Folgende ist von unten nach oben zu lesen und beide Rechnungen sollten im gleichen Ergebnis enden.
[mm]=\bruch{1}{4}n^4+\bruch{3}{4}n^2+1[/mm]
[mm]=\left[\bruch{1}{2}n^2+\bruch{3}{2}n+1\right]^2[/mm]
[mm]=\left[\bruch{n^2+2n+n+2}{2}\right]^2[/mm]
[mm]=\left[\bruch{\left(n+1\right)*\left(n+2\right)}{2}\right]^2[/mm]
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Die Frage steht in keinem weiterem Forum.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Smilodon |
Also nach gründlichen Nachrechnen und prüfen mit MuPad bin ich zu Überzeugung gekommen das das richtig ist, aber eins versteh ich noch nich wie kommt es dass ich hier (^^) [mm] 1*n^3 [/mm] hab
Induktionsschluß:
>
> $ [mm] =\left[\bruch{n\cdot{}\left(n+1\right)}{2}\right]^2+\left(n+1\right)^3 [/mm] $
>
> $ [mm] =\left[\bruch{n^2+n}{2}\right]^2+n^3+3n^2+3n+1 [/mm] $
>
> $ [mm] =\bruch{1}{4}n^4+n^3+3\bruch{1}{4}n^2+3n+1 [/mm] $
^^
und hier(^^^) [mm] 3/2*n^3
[/mm]
$ [mm] =\left[\bruch{1}{2}n^2+\bruch{3}{2}n+1\right]\left[\bruch{1}{2}n^2+\bruch{3}{2}n+1\right] [/mm] $
[mm]=\bruch{1}{4}n^4+\bruch{6}{4}n^3+\bruch{13}{4}n^2+\bruch{6}{2}+1[/mm]
^^^
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Hallo Smilodon,
> Also nach gründlichen Nachrechnen und prüfen mit MuPad bin
> ich zu Überzeugung gekommen das das richtig ist, aber eins
> versteh ich noch nich wie kommt es dass ich hier (^^) [mm]1*n^3[/mm]
> hab
>
>
> Induktionsschluß:
> >
> >
> [mm]=\left[\bruch{n\cdot{}\left(n+1\right)}{2}\right]^2+\left(n+1\right)^3[/mm]
> >
> > [mm]=\left[\bruch{n^2+n}{2}\right]^2+n^3+3n^2+3n+1[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{1}{4}n^4+n^3+3\bruch{1}{4}n^2+3n+1[/mm]
>
> ^^
>
> und hier(^^^) [mm]3/2*n^3
[/mm]
>
>
> [mm]=\left[\bruch{1}{2}n^2+\bruch{3}{2}n+1\right]\left[\bruch{1}{2}n^2+\bruch{3}{2}n+1\right][/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{1}{4}n^4+\bruch{6}{4}n^3+\bruch{13}{4}n^2+\bruch{6}{2}+1[/mm]
>
> ^^^
Ich schreib's mal ein wenig um:
zu zeigen ist:
[mm]\left[\bruch {n*(n+1)}{2} \right]^2 + (n+1)^3 = \left[ \bruch{(n+1)(n+2)}{2} \right]^2[/mm]
[mm] $\bruch{n^2 \cdot (n+1)^2}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^2 \cdot [/mm] (n+1) = [mm] \bruch {(n+1)^2}{4} \cdot (n+1)^2 [/mm] $
[mm] $\bruch {(n+1)^2}{4} \left[ n^2+4(n+1) \right] [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2}{4} \cdot (n+2)^2$
[/mm]
Der Term nach dem [mm] $\bruch {(n+1)^2}{4}$ [/mm] ist offenbar links und rechts gleich
[mm] \Rightarrow [/mm] Beweis erbracht [mm] \Box
[/mm]
Fazit der langen Rechnung: es ist nicht immer erfolgreich, alles auszurechnen,
geschicktes Zusammenfassen führt gelegentlich schneller zum Ziel.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Emily |
> Hallo
>
> Ich habe zur Übung versucht die Summenfolge für Kubikzahlen
> durch vollständige Induktion zu beweisen ... und nu häng
> ich fest.
> Das sind meine Ideen ich hoffe mit kann einer sagen warum
> ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe.
>
> >
> [mm]=\left[\bruch{n^2+n}{2}\right]^2+n^3+3n^2+3n+1[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{4}n^4+n^3+3\bruch{1}{4}n^2+3n+1[/mm]
>
>
> Das Folgende ist von unten nach oben zu lesen und beide
> Rechnungen sollten im gleichen Ergebnis enden.
>
>
> [mm]=\bruch{1}{4}n^4+\bruch{3}{4}n^2+1[/mm]
>
> [mm]=\left[\bruch{1}{2}n^2+\bruch{3}{2}n+1\right]^2[/mm]
>
> [mm]=\left[\bruch{n^2+2n+n+2}{2}\right]^2[/mm]
>
>
> [mm]=\left[\bruch{\left(n+1\right)*\left(n+2\right)}{2}\right]^2[/mm]
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus.
>
> Die Frage steht in keinem weiterem Forum.
>
Hallo
Kubikzahlensumme:
[mm]\summe_{i=1}^{n} i^3 = \left[\bruch{n*\left(n+1\right)}{2}\right]^2[/mm]
Induktionsanfang:
für n= 1 [mm]\left[\bruch{1*\left(1+1\right)}{2}\right]^2 = 1[/mm]
Induktionsschluß:
[mm]=\left[\bruch{n*\left(n+1\right)}{2}\right]^2+\left(n+1\right)^3[/mm]
[mm]=\bruch{n^2*(n+1)^2}{4}+\left(n+1\right)^3[/mm]
[mm]=\bruch{n^2*(n+1)^2}{4}+\bruch{4*(n+1)^3}{4}[/mm]
[mm]=\bruch{n^2*(n+1)^2+4*(n+1)^3}{4}[/mm]
[mm]=\bruch{(n+1)^2*(n^2+4*(n+1))}{4}[/mm]
[mm]=\bruch{(n+1)^2*(n^2+4*n+4)}{4}[/mm]
[mm]=\bruch{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}[/mm]
Bei Bedarf bitte fragen.
Liebe Grüße
Emily
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
