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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mi 16.08.2006
Autor: Tevulytis

Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{k+1} k^{2} [/mm] = [mm] (-1)^{n + 1}*\bruch{n(n + 1)}{2} [/mm]

IA: bei n=1:   [mm] (-1)^{1+1}*1^{2}=(-1)^{1+1}*\bruch{1(1+1)}{2} \Rightarrow [/mm] 1=1
klar


IS:  
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{k+1} k^{2}=(-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)}{2} [/mm]

Man soll dann zeigen, dass [mm] (-1)^{n+1}*(-1)^{((n+1)+1)}*(\bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)^{2})=(-1)^{((n+1)+1)}*\bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2} [/mm] (richtig?)

Ich habe zuerst [mm] (-1)^{((n+1)+1)} [/mm] am Anfang stehen gelassen und die Addition am Ende durchgeführt. Mann hat dann folgendes: [mm] (-1)^{((n+1)+1)}*(-1)^{n+1}*\bruch{n(n+1)+2(n+1)^{2}}{2}. [/mm] Wie kann man jetzt [mm] (-1)^{n+1} [/mm] mit [mm] \bruch{n(n+1)+2(n+1)^{2}}{2} [/mm] multipilizieren?  Oder ist das der falsche Weg? Habe ich velleicht irgendwo einen Fehler gemacht...? Bitte, helfen. Vielen Dank. Grüße.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: erster Schritt unklar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Mi 16.08.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Tevulytis!


> Man soll dann zeigen, dass
> [mm](-1)^{n+1}*(-1)^{((n+1)+1)}*(\bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)^{2})=(-1)^{((n+1)+1)}*\bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}[/mm]


Wie kommst Du hier auf den Term vor dem Gleichheitszeichen?

Im Induktionsschritt ist zu zeigen, dass gilt:

[mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1}* k^2 \ = \ (-1)^{(n + 1)+1}*\bruch{(n+1)*[(n + 1)+1]}{2} \ = \ (-1)^{n+2}*\bruch{(n+1)*(n +2)}{2} [/mm]


Zerlege hier zunächst die Summe und wende dann die IV an:

[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1}* k^2 [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}* k^2 [/mm] \ + \ [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1} (-1)^{k+1}* k^2$ [/mm]

$= \ [mm] \blue{\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}* k^2} [/mm] \ + \ [mm] (-1)^{n+1+1}* (n+1)^2$ [/mm]

$= \ [mm] \blue{(-1)^{n+1}*\bruch{n*(n + 1)}{2}} [/mm] \ + \ [mm] (-1)^{n+2}* (n+1)^2$ [/mm]

Klammere nun den Term [mm] $(-1)^{n+2}*\bruch{n+1}{2}$ [/mm] aus und fasse zusammen, und schon bist Du fertig.

Bedenke dabei, dass gilt:  [mm] $(-1)^{-1} [/mm] \ = \ -1$


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 Mi 16.08.2006
Autor: Tevulytis

Gut erklärt. Habe ich alles verstanden. Danke!

Bezug
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