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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Di 03.10.2006 | | Autor: | kingbozz |
| Aufgabe | Beweise mittels vollständiger Indukton für n N
n n(n+1)(2n+1)
E k²= ------------
k=1 6 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand das bitte von grund auf erklären da ich das nie in der Fachhochscuhle gelernt hatte... was ich da mache muss und was da im einzelnen geschiht....
Ich bedanke mich schonmal im voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Di 03.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Beweise mittels vollständiger Indukton für n N
> n n(n+1)(2n+1)
> E k²= ------------
> k=1 6
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Kann mir jemand das bitte von grund auf erklären da ich das
> nie in der Fachhochscuhle gelernt hatte... was ich da mache
> muss und was da im einzelnen geschiht....
>
> Ich bedanke mich schonmal im voraus...
Hallo
Zuallererst mal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Und dann: Bitte nutz den Formeleditor. Danke.
Zu deiner Aufgabe:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i²=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Alle Indunktionsbeweise funktionieren nach einem Schema.
Zuerst fangst du mit den Induktionsanfang an, d.h. du zeigst, dass die Formel für einen Startwert gilt. Meistens nimmt man 1.
Also in deinem Beispiel:
[mm] \summe_{i=1}^{\red{1}}i²=\bruch{\red{1}(\red{1}+1)(2*\red{1}+1)}{6}
[/mm]
[mm] \gdw 1²=\bruch{1*2*3}{6}, [/mm] was ja eine korrekte Aussage ist.
Jetzt kommt der eigentliche Beweis.
Dazu fangen wir mit der sogenannten Induktionsannahme an, d.h. wir nehmen an, dass die Formel für n gilt.
Dann kommt der Induktionsschritt , in dem man zeigt, dass unter der Ind.-Annahme die Formel dann auch für n+1 gilt.
Das ist das eigentlich schwierige.
Also ist zu zeigen [mm] \summe_{i=1}^{n}i²+(n+1)²=\underbrace{\bruch{\red{(n+1)}((\red{n+1}+1)(2(\red{n+1})+1)}{6}}_{=\bruch{2n³+9n²+13n+6}{6}}
[/mm]
Das versuche ich jetzt mal zu zeigen.
[mm] \summe_{i=1}^{n}i²+(n+1)²=\underbrace{\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}}_{Nach Ind.-Ann.}+(n²+2n+2)=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+\bruch{6(n²+2n+1)}{6}=\bruch{n(n+1)(2n+1)+6n²+12n+6}{6}=\bruch{2n³+3n²+n+6n²+12n+6}{6}=\bruch{2n³+9n²+13n+6}{6}=\summe_{i=1}^{n+1}i²
[/mm]
Fertig
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 23.09.2007 | | Autor: | dau2 |
> Das versuche ich jetzt mal zu zeigen.
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> [mm][mm] \summe_{i=1}^{n}i²+(n+1)²=\underbrace{\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}}_{Nach Ind.-Ann.}+(n²+2n+2)=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+\bruch{6(n²+2n+1)}{6}
[/mm]
Hier wurde der 2. part mit 6 erweitert?
Warum steht dann da eine 1 am Ende und keine 2?
Mfg
dau2
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Hallo dau2,
>[mm][mm]\summe_{i=1}^{n}i²+(n+1)²=\underbrace{\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}}_{Nach >Ind.-Ann.}+(n²+2n+2)=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+\bruch{6(n²+2n+1)}{6}[/mm]
>Hier wurde der 2. part mit 6 erweitert?
Warum steht dann da eine 1 am Ende und keine 2?
weil im Schritt davor ein Tippfehler ist [mm] $(n+1)^2\ne n^2+2x+\red{2}$
[/mm]
Im nächsten Schritt stimmt's wieder
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 So 23.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Ah...mist, habs auch falsch ausmultipliziert.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 So 23.09.2007 | | Autor: | crashby |
Hey, wenn du da noch mehr Aufgaben brauchst dann schau mal hier:
http://www.emath.de/cgi-bin/Statistik/axs/ax.cgi?http://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
lg
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