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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Mi 17.11.2004 | | Autor: | KingMob |
Kann mir bitte jemand bei dieser aufgabe behilflich sein? Es geht darum
folgende ungleichungen mit vollständiger induktion zu beweisen :
1) [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+ai) [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ai
für ai [mm] \ge [/mm] 0 und i [mm] \in [/mm] {1,...,n}
2) [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1-ai) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ai
für 0 [mm] \le [/mm] ai [mm] \le [/mm] 1 und i [mm] \in [/mm] {1,...,n}
Ich gehe mal davon aus, dass beide aufgaben auf analoge weise lösbar sind...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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OK, ich glaub das geht so:
Behauptung: [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+ai) [mm] \ge [/mm] 1+ [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (ai)
Bei vollständiger Induktion ist die Behauptung auch die Induktionsvorrausetzung. Die muss also man später nochmal irgendwo einsetzten, sonst stimmt was nicht
1. Induktionsanfang: n=2
[mm] \produkt_{i=1}^{2} [/mm] (1+ai) [mm] \ge [/mm] 1+ [mm] \summe_{i=1}^{2} [/mm] (ai)
ist genau dasselbe wie:
(1 + a1)(1 + a2) [mm] \ge [/mm] 1 + a1 + a2
Ausmultiplizieren:
1 + a1 + a2 + a1a2 [mm] \ge [/mm] 1 + a1 + a2
oder
a1a2 [mm] \ge [/mm] 0 (da du geschrieben hast das 0 [mm] \le [/mm] ai [mm] \le [/mm] 1 ist, gilt das in jedem Fall, kannst du mal ausprobieren für ein beliebiges ai in dem Intervall)
2. Induktionsschritt: n = n + 1
Es soll also gelten:
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1} [/mm] (1+ai) [mm] \ge [/mm] 1+ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] (ai)
Etwas anders sieht das so aus:
[ [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+ai)] * (1+a(n+1)) [mm] \ge [/mm] 1+ [ [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (ai)] + a(n+1)
(n+1) hinter einem a ist tiefergestelltes n+1
Jetzt setzen wir die Induktionsvorraussetzung ein und erhalten:
[ [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+ai)] * (1+a(n+1)) [mm] \ge [/mm] 1+ [ [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+ai)]+ a(n+1)
Durch kürzen bleibt übrig:
1+a(n+1) [mm] \ge [/mm] a(n+1)
das ist aber irgendwie klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Mi 17.11.2004 | | Autor: | KingMob |
Also ich bin mit jedem argumentationsschritt einverstanden, mit ausnahme des schritts bei dem du die induktionsvoraussetzung einsetzt. Du kannst doch nicht behaupten, wenn [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+ai) [mm] \ge [/mm] 1+ [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (ai) und [ [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+ai)] * (1+a(n+1)) [mm] \ge [/mm] 1+ [ [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (ai)] + a(n+1) , dass dann [ [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+ai)] * (1+a(n+1)) [mm] \ge [/mm] 1+ [ [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1+ai)]+ a(n+1) daraus folgt, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Mi 17.11.2004 | | Autor: | igelkind |
Ok du hast recht, aber ich kann meinen Beitrag nicht ändern, wie macht denn das?
Aber man muss es genau andersrum einsetzen und dann ergibt sich:
[1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}) [/mm] ] * [1+ [mm] a_{n+1}] \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}) [/mm] + [mm] a_{n+1}
[/mm]
Ausmultiplizieren:
1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}) [/mm] + [1+ [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}) [/mm] ] * [mm] [a_{n+1}] \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}) [/mm] + [mm] a_{n+1}
[/mm]
Kürzen:
[ 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}) [/mm] ] * [mm] a_{n+1} \ge a_{n+1}
[/mm]
Ausmultiplizieren:
[mm] a_{n+1} [/mm] + [ [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}) [/mm] ] * [mm] [a_{n+1} \ge a_{n+1} [/mm]
Kürzen:
[ [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}) [/mm] ] * [mm] [a_{n+1}] \ge [/mm] 0
Aber das ist klar. Ich hoffe so gehts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 17.11.2004 | | Autor: | KingMob |
Also ich will dir ja nicht auf den senkel gehen, aber ich glaube du hast noch einmal genau denselben fehler gemacht, denn wenn nach voraussetzung "produkt" > "eine summe" sowie im induktionsschritt "produkt" > "andere summe" heißt das nicht zwangsläufig, dass "eine summe" > "andere summe" ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mi 17.11.2004 | | Autor: | igelkind |
Induktionsvorraussetzung:
produkt 1 > summe 1
Später kommst du auf:
produkt 2 > summe 2, wobei produkt 2 = produkt 1 * [mm] (1+a_{n+1}) [/mm] und summe 2 = summe 1 + [mm] a_{n+1} [/mm] ist
also:
produkt 1 * [mm] (1+a_{n+1}) [/mm] > summe 1 + [mm] a_{n+1}
[/mm]
Wenn du jetzt für produkt 1 irgendeinen beliebigen Wert nimmst, meinetwegen 5 und summe 1 kleiner wie 5 ist, also z. Bsp. 4.
Dann setzt du z. Bsp. noch fur [mm] a_{n+1} [/mm] = 0,8 (wegen 0 [mm] \le a_{n+1} \le [/mm] 1)
Und jetzt kommt raus:
5 * (1 + 0,8) [mm] \ge [/mm] 4 + 0,8
also
9 [mm] \ge [/mm] 4
und wenn du die Induktionsvorraussetzung einsetzt, entsteht:
summe 1 * [mm] (1+a_{n+1}) \ge [/mm] summe 1 + [mm] a_{n+1}
[/mm]
hast du als ergebnis
4 * (1 + 0,8) [mm] \ge [/mm] 4 + 0,8
also
7,2 [mm] \ge [/mm] 4,8 (es stimmt also doch)
Versuch mal 3 Zahlen zu finden, wo es nicht so ist, dann glaub ich dir.
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Hallo igelkind,
Der Weg hier ist auch richtig nur zum schluß hat sich ein Fehler eingeschlichen. Die Ungleichungskette muß schließlich von unten nach oben gelten.
> Jetzt setzen wir die Induktionsvorraussetzung ein und
> erhalten:
>
> [ [mm]\produkt_{i=1}^{n}[/mm] (1+ai)] * (1+a(n+1)) [mm]\ge[/mm] 1+ [
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}[/mm] (1+ai)]+ a(n+1)
Hier müsste stehen:
[ [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1+ai)] * (1+a(n+1)) \ge [\produkt_{i=1}^{n} (1+ai)]+ a(n+1)[/mm]
Dann führt auch dieser Weg weiter.
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mi 17.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach an alle!
@igelkind ich kann in deiner zweiten Antwort keinen Fehler finden auch wenn es besch.. geschrieben ist. Kann mich aber auch täuschen wäre nicht das erste mal.
(IV)
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{n}a_{i}
[/mm]
(IBW)
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})\ge1+\summe_{i=1}^{n+1}a_{i}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}))(1+a_{n+1})\ge1+\summe_{i=1}^{n}a_{i}+a_{n+1}
[/mm]
mit (IV)
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (1+\summe_{i=1}^{n}a_{i})(1+a_{n+1})\ge1+\summe_{i=1}^{n}a_{i}+a_{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 1+\summe_{i=1}^{n}a_{i}+(1+\summe_{i=1}^{n}a_{i})a_{n+1}\ge1+\summe_{i=1}^{n}a_{i}+a_{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (1+\summe_{i=1}^{n}a_{i})a_{n+1}\ge a_{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] a_{n+1}+(\summe_{i=1}^{n}a_{i})a_{n+1}\ge a_{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (\summe_{i=1}^{n}a_{i})a_{n+1}\ge0
[/mm]
erfüllt für alle [mm] a_{i}\ge0
[/mm]
Das is hargenau nochmal das, was du schon geschrieben hast. Kann sich derKingMob ja noch mal anschauen - vielleicht kommt er damit besser klar.
Im übrigen ist es egal auf welcher Seite du die Induktionsvorausetzung einsetzt (die Araber schließen ja auch von rechts nach links ;o)). Die linke Seite ist nur üblicher. Genauso wie sich viele daran gewöhnt haben die linke Seite in die rechte zu überführen, so das an den "Enden" der Beweiskette die Behauptung steht.
Der Richtigkeit ist das aber schnurz. Hauptsache deine Folgerungen sind in sich schlüssig und widersprechen nicht irgendwelchen Axiomen und Gesetzen der Mathematik.
MfG zwerg
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Hallo zwerg,
Ich stimme deiner Antwort zu bis auf eine Kleinigkeit.
> [mm](\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}))(1+a_{n+1})\ge1+\summe_{i=1}^{n}a_{i}+a_{n+1}
[/mm]
> mit (IV)
> [mm]\gdw
[/mm]
>
> [mm](1+\summe_{i=1}^{n}a_{i})(1+a_{n+1})\ge1+\summe_{i=1}^{n}a_{i}+a_{n+1}
[/mm]
Hier sollte ein [mm] \Leftarrow [/mm] stehen.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:52 Do 18.11.2004 | | Autor: | KingMob |
Genau deswegen habe ich gegen diese beweisführung protestiert, da nur über eine implikation, und nicht über eine äquivalenz, die aussage bewiesen werden kann...
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Hallo KingMob,
Zuerst das zu Beweisende stehen zu haben und den Beweis rückwärts zu führen mag zunächst etwas (für Mathematiker) eigentümlich wirken. Allerdings ist es relativ sinnvol sich anzuschauen wo man "hin" will und daher für(kurze) Induktionsbeweise relativ üblich. Sonst müsste man ja erst die Nebenrechnung hinschreiben und dann nochmal richtig aufschreiben. Außerdem versteht man den Beweisweg später leichter(Wie ist derjenige darauf gekommen?). Man will's ja auch mal selber können.
von daher sehe ich in igelkind's erster Antwort immer noch "nur" den Fehler die 1 nicht weggelassen zu haben.
Siehst Du das anders?
gruß
mathemaduenn
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